f(x-1)-f(x)的問題

Question

f(x-1)-f(x) = 24 x2 + 24x + 2 且 f(0) = 1試求f (x)請問這題要怎麼算呢

想請問龍
比較係數則

a＝ -8

b＝ -24

c＝ -18

f(x)＝ -8x^3-24x2-18x+1

前面我都看的懂 這個係數是怎麼判斷出來的呢

另外 為什麼最高次方是3次方呢

Answer 1

f(x-1)-f(x) 最高次為2次表示 f(x)為三次多項式可設 f(x)＝ax^3+bx^2+cx+d 其中 f(0) = 1 => d＝1f(x-1)＝a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d      ＝a(x^3-3x^2+3x-1)+b(x^2-2x+1)+c(x-1)+df(x-1)-f(x)＝(-3a)x^2 + (3a-2b)x + (-a+b-c)           ＝24 x2 + 24x + 2 比較係數則 a＝ -8b＝ -24c＝ -18f(x)＝ -8x^3-24x2-18x+1

2006-12-02 12:20:41 補充：
sorry..次方沒掛到正確為 f(x)＝ -8x^3-24x^2-18x+1

2006-12-10 22:15:12 補充：
-3a＝24---->a＝ - 8
3a-2b＝24----且 a＝ - 8---->b＝ - 24
-a b-c＝2-----且 a＝ - 8 b＝ - 24-----> c＝ - 18

至於為什麼最高次是 3次
因為最高次項及係數皆相等，所剩下的必為較次高項

假設 f(x)＝X^n X^(n-1) ......... X A
則 f(x-1)＝(x-1)^n (x-1)^(n-1) ..... (x-1) A
=> f(x-1)-f(x)＝Kx^(n-1) Lx^(n-1) ......mx p
則 n-1＝2所以n＝3

Answer 2

天狔說的對，題目要規定f(x)是多項式才有唯一解。
不然這樣怪怪的函數也是解：
if x<4，f(x)=-8x^3-24x^2-18x+1
if 4<=x<10，f(x)=-8x^3-24x^2-18x+8
if 10<=x，f(x)=-8x^3-24x^2-18x-5
這樣因為f(x-1)-f(x)的常數項2=8-24+18，是由三次項、二次項、一次項的係數決定的，與f(x)的常數項無關，所以f(x)在x=0以外的區間時，常數項可以更換。

2006-12-05 01:23:40 補充：
至於為何是三次呢？
因為若f(x)是一次以上的n次多項式，則f(x-1)-f(x)必然是(n-1)次吧！

因為a(x-1)^n-ax^n
=a*C(n,1)*(-1)^1*x^(n-1)+....
=-anx^(n-1)+......
為(n-1)次多項式。(當n為正整數且a不為0時)

2006-12-05 01:24:08 補充：
因此若f(x)是n次多項式(x^n的係數為a)，則
f(x-1)-f(x)
=(n-1)次多項式+(n-2)次多項式+(n-3)次多項式+.....
=-anx^(n-1)+......
=(n-1)次多項式
因為其他項的係數可能對消而成為0，但x^(n-1)的係數恆為-an，不會被消掉，而且也不會有比它更高次的項，所以它必然不多不少剛剛好是(n-1)次。

故若f(x)是四次以上，則f(x-1)-f(x)必然是三次以上，與題目不合；若f(x)是二次以下，則f(x-1)-f(x)必然是一次以下，與題目不合；故f(x)正好是三次。

Answer 3

題目似乎怪怪的或是條件不足
因為沒道理 f 就一定得是三次多項式

換個方式來想，
如果一開始我們不武斷的說 f 必是三次多項式的話，有辦法知道 f(1/2) 是多少嗎 ?

2006-12-04 00:39:05 補充：
這樣說吧，先把函數 y = f(x)
= -8x^3 - 24x^2 - 18x + 1
的圖形在 xy 平面上畫出。

把 (n,f(n)) 這些點固定 (n 是整數)，然後剩下的那些點 (x,f(x)) 都把它向上移動 k (k 是實數)，這樣一來我得到一個新的函數 f_k，這這些 f_k 都滿足 f_k(0)=1 和
f_k(x-1)-f_k(x) = 24 x2 + 24x + 2

所以這些 f_k 也都是解

2006-12-04 21:44:42 補充：
但我的 f_k 的確也是解，且不是多項式。

Answer 4

各位數學達人們

幫我看看這一題吧

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1206120204599

謝謝!

Answer 5

為什麼最高次方是3呢
也有可能4次 5次阿

2006-12-02 12:27:17 補充：
追逐的f(0) = 1→d=0→f(x)=ax3+bx2+cx+1
是不是打錯了 d 應該 = 1

Answer 6

f(x-1)-f(x) = 24 x2 + 24x + 2 →f(x)為三次方方程式：f(x)=ax3+bx2+cx+df(0) = 1→d=0→f(x)=ax3+bx2+cx+1x=0代入f(x-1)-f(x) = 24 x2 + 24x + 2→f(-1)-f(0)=f(-1)-1=2→f(-1)=3.........#x=-1代入f(x-1)-f(x) = 24 x2 + 24x + 2→f(-2)-f(-1)=f(-2)-3=24-24+2=2→f(-2)=5...#x=-2代入f(x-1)-f(x) = 24 x2 + 24x + 2→f(-3)-f(-2)=f(-3)-5=96-48+2=50→f(-3)=55...#將以上結果代入方程式：f(x)=ax3+bx2+cx+1f(-1)=-a+b-c+1=3→a-b+c=-2f(-2)=-8a+4b-2c+1=5→8a-4b+2c=-4→4a-2b+c=-2f(-3)=-27a+9b-3c+1=55→27a-9b+3c=-54→9a-3b+c=-18解聯立得：a=-8，b=-24，c=-18所以f(x)=-8x3-24x2-18x+1...............###

2006-12-04 17:04:30 補充：
對！d=1 我打錯了

2006-12-04 17:07:34 補充：
對不起！d=1，我打錯了！另外，為什麼確定是三次方呢？因為：f(x)的最高次方若是「ax^n」，那麼f(x-1)的最高次方就是「a(x-1)^n」，而展開後的最高次方還是「ax^n)」，所以一定比題目中的二次方還要大！

2006-12-04 17:17:05 補充：
那為什麼是三次方，而不是四、五或這更大的次方呢？因為：f(x)-f(x-1)=[ax^n+bx^(n-1)+......]-{a(x-1)^n+b(x-1)^(n-1)+......}→展開→[ax^n+bx^(n-1)+....]-[ax^n+(an+b)(x)^(n-1)+....]→也就是f(x)和f(x-1)中的(x^n)(最高次方)的係數是相等的，可以相消；但是f(x)和f(x-1)中的[x^(n-1)](次高次方)的係數不相等，故無法相消！所以f(x)-f(x-1)出來的結果是二次方，那f(x)或f(x-1)的最高次方會是三次方

2006-12-04 17:20:41 補充：
假設次高次方的係數相等：b=an+b→an=0→a或n等於零→和題目不合！

Answer 7

－８ｘ³－２４ｘ²－１８ｘ＋１是正確的

Answer 8

ｆ(ｘ)＝－８ｘ³－２４ｘ²－１８ｘ＋１

Answer 9

f(x-1)-f(x)
= 24x^2 + 24x + 2 且 f(0) = 1

x=1 時 1 - f(1) = 50
f(1)= -49

x=2 時 -49 - f(2) = 194
f(2)= - 243

Answer 10

∵f(x-1)-f(x) = 24 x2 + 24x + 2

∴f(x)為x的三次多項式

又f(0)=1，即f(x)的常數項為1

令f(x)=ax^3+bx^2+cx+1

則f(x-1)-f(x)=[a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+1]-[ax^3+bx^2+cx+1]

=a[(x-1)^3-x^3]+b[(x-1)^2-x^2]-c

=-a(3x^2-2x)-b(2x-1)-c

=-3ax^2+(2a-2b)x+(b-c)

=24x^2+24x+2

比較係數

-3a=24=>a=-8

2a-2b=24=>b=-20

b-c=2=>c=-22

∴f(x)=-8x^3-20x^2-22x+1

2006-12-02 12:09:31 補充：
這樣帶進去，我應該沒算錯吧

2006-12-02 12:37:59 補充：
抱歉，我又算錯了0.0

2006-12-02 12:44:57 補充：
第七行以下改成=-3ax^2+(3a-2b)x+(-a+b-c)=24x^2+24x+ 2比較係數-3a=24=>a=-83a-2b=24=>b=-24-a+b-c=2=>c=-18∴f(x)=-8x^3-24x^2-18x+1

2006-12-03 10:30:01 補充：
關於三次方是怎麼判斷的，就以三次方為例好了假設有一個函數f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+Df(x+a)-f(x+b)=[A(x+a)^3+B(x+a)^2+....]-[A(x+b)^3+B(x+b)^2+.....]=[(Ax^3+3Aax^2+...)+(Bx^2+...)]-[(Ax^3+3Abx^2+...)+(Bx^2+...)]=3A(a-b)x^2+(一次項及常數項)因為A不等於0，a-b不等於0所以f(x+a)-f(x+b)為二次式

2006-12-04 15:53:42 補充：
我覺得應該是沒什麼問題才對

當f(x+a)-f(x+b)最高次項會消掉

當f(ax+b)-f(cx+d)應該要形如這種的才不能確定