三題國一數學

Question

(1)小明用長 10 公分，寬 6 公分，高 3 公分的長方體積木堆成一個實心正方體，所有積木都依同方向排列，請問：
若有 2000 塊長方體積木，坐馨將之堆成最大的實心正方體，此時剩下多少塊長方體積木？
(2)甲數是大於 1 的整數， 110 、 162 、 201 三個數分別除以甲，所得的餘數都相等，試問甲數之值
(3)有 7 袋彈珠，其中彈珠數量分別有22, 21 ,14 ,30,12, 23 , 29 ，小華拿了 2 袋，小明拿了 4 袋，小明所拿取的 4 袋彈珠的總數是小華所拿取的 2 袋彈珠的總數的 4 倍，則剩下的一袋彈珠個數若干個。
請說明思考過程
謝謝

第2題為何由此處想起
:因為餘數都相同　減一減　餘數被減掉　剩下的差　就是除數的倍數
可再說明更詳細嗎

Answer 1

1. A) 先看看這個一般性的題目
用長 10 公分，寬 6 公分，高 3 公分的長方體積木(同方向)堆成一個實心正方體
請問最小的邊長是多少?最少需要多少積木?
因為邊長必須是10, 6, 3 公倍數, 所以最小的邊長是 [10, 6, 3] = 30
且需要積木 (30/10) * (30/6) * (30/3) = 150
B) 再看這一題
一個矩形, 如果其邊長 "變成" 2 倍, 則其面積 "變成" 幾倍?
一個矩形立方體呢? 其體積 "變成" 幾倍?
假設矩形的邊長是 a, b, 其面積是 ab. 變成 2 倍後就是 2a, 2b, 其面積是 4ab
所以是 4倍.
立方體就會從a, b, c 變成 2a, 2b, 2c 體積也就變成 8 倍.
結論: 平面上的圖形, 若邊長 變成 n 倍, 則其面積 變成 平方 (n*n) 倍.
空間上的物體, 若邊長 變成 n 倍, 則其體積 變成 立方 (n*n*n) 倍.

現在, 回到原來的題目...
最小邊長30公分, 需要150塊. 考慮 2 倍, 3 倍 ... 的情形 (一定是整數倍, 否則就要鋸積木了)
2 倍後 (邊長60公分), 需要150*8 = 1200塊 (嗯 還可以)
3 倍後 (邊長60公分), 需要150*27 = 4050塊 (哇 太多了)
所以 2000 - 1200 = 800 (剩下的)

思考: 萬一題目改成 200000 塊呢? 總不成 2倍, 3倍, 4倍 慢慢試吧.
考慮 200000/150 = 1333.333...
那就得找出一個數 n 使得 n^3 (n*n*n) 小於 (且最接近) 1333.
如果可以使用計算機 把 1333 開三次方可得 11
否則 就得從 10 開始試 (因為 10 ^ 3 = 1000) #

2. 此題重點在於 ...
a) 三個數分別減去相同的餘數後, 它們之間的差仍然一樣.
b) 它們之間的差都可以被甲整除.
所以找出它們之間差的公因數即可.
201-162 = 39
201-110 = 91
162-110 = 52
(52, 39, 91) = 13 #

3. 不管拿幾袋, 總數最要緊.
設小華拿 x 個, 則小明有 4x 個, 全部被拿 5x 個 (重點: 這是 5 的倍數).
原來有 22 + 21 + 14 + 30 + 12 + 23 + 29 = 151 (不是 5 的倍數).
既然祇剩一袋 (減去), 那一袋的個位數就必須是 1 或 6 才有 "機會".
此題中祇有 21 那一袋符合.

但是, 別忘了驗算.
151 - 21 = 130
130 / 5 = 26 ( = 12 + 14 可以)

思考: 萬一題目改成3倍呢?
仿照上面的方法...
必須從 151 減去某數使它成為 4的倍數.
所以某數可能是 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31 (可以停了, 因為最大的數量是30)
哈, 找到 23了. 答案是 23.
嗯, 抱歉, 錯了. 為什麼?! 因為你忘了驗算!
(錯誤的原因請自己試試看). #
#

2006-12-02 12:54:26 補充：
用a, b兩數來說明.假設a, b 除以 甲 餘數皆為 r則 a = p*甲 + r, b = q*甲 ＋ ｒ==> a - r = p*甲, b - r = q*甲 ==> (a - r) - (b - r) = p*甲 - q*甲==> a - b = (p - q)*甲也就是此兩數的差亦是甲的倍數.

Answer 2

(2)162-110=52, 201-162=39, 201-110=91
甲是52,39,91的公因數
甲=13
(剛剛在想要怎樣跟"國一"的解釋這個.....好像很難^^)

哈..第一位大大的答案 我補充解釋一下　為什麼要這樣減
因為餘數都相同呀　減一減　餘數被減掉了　剩下的差　就是除數的倍數呀
例如３７．２５．１０．４(都除3餘1)
37-25=12　25-10=15　10-4=6
減一減　餘數被減掉了 剩下的數會是除數的倍數啦 再求公倍數 就可得到答案

Answer 3

1.
[10.6.3]=60先算出每個小正方形的邊長
60/10=6
60/6=10 >算出每面所需長方體的邊長
60/3=20
6*10*20=1200將所有需要的長方體數乘出來
2000/1200=1...800再將所有的長方體數除以一個正方體所需長方數~~~最後的餘數就是答案
答:剩下800塊
2.
162-110=52
201-162=39
201-110=91
(52.39.91)=13
先算出各數個別的相差值
再算出所有相差值的最大公因數~~~就是答案了!!
答:甲=13
3.
設小華拿的彈珠總數為X
則小明拿的但珠總數就是4X
X+4X=5X
22+21+14+30+12+23+29=151
若要算出X
總數就一定要等於5的倍數!!
所以總數要減去21才能等於5的倍數
所以最後剩下的就一定會是裝有21顆彈珠的袋子
答:21個

Answer 4

(1)同方向排列
so,[10,6,3]=30 邊長為30公分的正立方體
30/10=3, 30/6=5, 30/3=10, 3*5*10=150>>>至少要150塊
2000/150=13.3333....所以只能放大八倍(每邊放大兩倍)
要用掉 150*8=1200
剩下 800塊
(3)22+21+14+30+12+23+29=151
小明是小華的4倍,兩個人加起來就是小華的5倍
所以沒被拿取的是21 (因為其他6袋要成為5的倍數)
151-21=130
130/5=26
小明>>22,30,23,29 小華>>14,12

2006-12-01 23:25:58 補充：
(2)162-110=52, 201-162=39, 201-110=91 甲是52,39,91的公因數 甲=13 (剛剛在想要怎樣跟"國一"的解釋這個.....好像很難^^)