線性代數 - 和空間 vs 生成空間

Question

設W1、W2屬於V
我知道

和空間 是 W1+W2
生成空間 是 Span( W1UW2 )

作用都是將其形成 向量空間 的 封閉性
那到底有什麼不同呢?
謝謝

應該講說，W1+W2 是防止 聯集時造成的不封閉性
但是 Span 好像也是 聯集造成的不封閉性
請問差別在哪呢?謝謝

那兩個都存在的用意是?
因為先發現 和空間，然後因為需要，所以再發明 生成 ?

意思就是說
Span的條件比較弱，但也可以達到 和空間 (有子空間的條件下)的作用囉?

嗯，這樣說來…大致有個概念了，謝謝!!

Answer 1

兩個都是一樣.

假設V是佈於體 F 的線性空間.
W1+W2 = { au+bv : u屬於W1 , v屬於W2 且 a,b皆屬於 F }
Span( W1 U W2 ) 為包含 W1 U W2 的最小子空間.

1. 因為 0屬於W1. 對於每個W2中的元素v, v = 0+v 屬於 W1+W2. 故 W2包含於W1+W2.
同理. W1包含於W1+W2. 故 W1 U W2 包含於 W1+W2.
根據Span的最小性定義, Span( W1UW2 )包含於 W1+W2.

2. 對於任意W1+W2中的元素z,
必定存在W1中的元素u, W2中的元素v, 體F中的兩個元素a, b
使得 z=au+bv.
根據Span的定義, 我們知道 u,v 屬於Span( W1UW2 ).
又 Span( W1UW2 )為子空間, 所以線性組合 au+bv = z 屬於 Span( W1UW2 ).
所以 W1+W2 包含於 Span( W1UW2 ).

根據1. 2.
W1+W2 = Span( W1UW2 ).

2006-12-02 04:00:50 補充：
應該這樣說W1+W2很好用尤其是可以擴充定義到直和分解.W1+W2 要都是子空間才有這個運算 Span的定義起源應該是跟基底比較有關定義 Span X, X是V的任意子集合都可以. 我認為這兩個定義是從不同觀點出發的 只是這兩個定義剛好在W1+W2 = Span( W1UW2 ) 取得了一致性.

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