積化和差的一個觀念問題

Question

我的問題有兩個
1.積化和差的公式裡
sinA*cosB=1/2[sin(A+B) "+" sin(A-B)]
cosA*sinB=1/2[sin(A+B) "-" sin(A-B)]
為什麼乘法的sin 跟 cos 位子調換 就差一個正負號
一般乘法 2*3=6 3*2=6
2跟3的位子都可換 cos sin 為什麼就不行
還是說 差一個正負號算出來的答案是一樣?
但好像不是這樣 我算一題結果位子搞的跟老師的答案不一樣
就錯了 "囧興............"
2.有時候作一個很複雜的題目 sin跟cos的位子會跟答案不一樣
就差一個正負了,請問該怎麼知道何時 sin 要在前面 或 cos要在前面

以上是我的問題 答的好 賞15點

ok~我都仔細的看過了 ^^~

三個人的答案都對
但 jj大 的最詳細 所以給他
謝謝三位的答案


我是個電機系的學生
在解工程數學的 傅立葉級數時 所以遇到了這個問題
看來我基礎不好~ 實在汗顏~ 唉~

Answer 1

a) 首先, 要確定你知道 sinA 是 sin(A) 的意思 [ 請對照 函數 f(x) 的寫法].
其中 sin是 正弦函數 [ 如同 f ] , A 是變數 [ 如同 x, 在此是角度值], sinA 是角度 A 的正弦函數值.
若 A = 30, 45, 60 則 sinA = 1/2, (根號 2) / 2, (根號 3) / 2.

b) 其次, 要問你是否知到 負角公式?
sin(-A) = - sin(A)
cos(-A) = cos(A)

c) 第三, 要提醒你, 第二個公式是 cosA*sinB = ...

好啦 現在可以開始驗證你的疑問了
第二個公式 cosA*sinB=1/2[sin(A+B) "-" sin(A-B)]
既然 A, B是變數, 在函數中的變數可以用任何符號
所以我想用B來代替A, 用A來代替B.
(如果不習慣 那就想成 "用a來代替A, 用b來代替B" 然後 "用B來代替a, 用A來代替b)
所以 第二個公式: cosB*sinA=1/2[sin(B+A) "-" sin(B-A)]
sin(B+A) = sin(A+B) <== 加法交換律
sin(B-A) = - sin(A-B) <== 負角公式

==> cosB*sinA=1/2[sin(B+A) "-" sin(B-A)]
==> cosB*sinA=1/2[sin(A+B) "+" sin(A-B)]
和第一個公式一樣

結論: 加法, 乘法 絕對滿足交換率. 適當地應用 負角公式, 說不定也會解決你 "差一個正負" 的問題.

Answer 2

這位同學，要注意喔...
你所寫的公式裡中
sinA*cosB=1/2[sin(A+B) "+" sin(A-B)]
cosA*sinB=1/2[sin(A+B) "-" sin(A-B)]

一個是sinA*cosB，另一個是cosA*sinB，兩個是完全不一樣的，
sinA≠sinB，相同的cosA≠cosB，所以，這是兩個完全不同的公式。

我猜你大概誤會了sin跟cos的意思了，
sinA定義是 A的正弦函數，它的標示是 sin(A) ，不是 sin*A
cosB定義是 B的餘弦函數，它的標示是 cos(B) ，不是 cos*B

乘法絕對滿足交換率，
所以，交換百分之百是一樣的，
sinA*cosB=1/2[sin(A+B) "+" sin(A-B)]
cosB*sinA=1/2[sin(A+B) "+" sin(A-B)]
^^^^^^^^^^跟誰在前，誰在後的位置無關。