若正五邊形邊長為a~則對角線等於多少?

Question

我同學說這是奧林匹亞的題目
有個正五邊形邊長為a~五點分別為ABCDE(順時中排列)
則AC等於多少 (請用a表示)

Answer 1

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1106112711374.GIF
這題可能主要是要你求cos72。之值。我們可以以左上圖的「黃金三角形」求得cos72。之值。△PQR為等腰三角形，∠P是頂角，∠P=36。，則∠PQR=∠PRQ=(180。-36。)/2=72。，作∠PQR的角平分線交PR於S，則∠SQR=72。/2=36。，∠RSQ=180。-36。-72。=72。=∠PRQ因此△PQR相似於△QRS，令RS=1，QR=x，則PQ=x‧x=x2，又∠SQP=36。=∠P，故△PSQ也是等腰三角形，PS=QS=QR=x，PQ=PR→x2=x+1 → (解方程式)x=(1+√5)/2(負的不合)cos72。=cos∠PRQ=(x2+12-x2)/(2x)=1/(2x)=(-1+√5)/4先算一個小東西，(3+√5)/2=(6+2√5)/4=(1+5+2√5)/4=(1+√5)2/22=[(1+√5)/2]2如右上圖，在△ABC中用餘弦定理，AC2=AB2+BC2-2*AB*BC*cos108。=a2+a2+2*a2*cos72。=a2[2+2cos72。]=a2[2+(-1+√5)/2]=a2*(3+√5)/2=a2[(1+√5)/2]2故AC=a*[(1+√5)/2]

Answer 2

先考慮複數平面上 以 0 為圓心 半徑=1 的單位圓上 正五邊形(假定邊長為b)
那麼 正五邊形的五個點分別是 1 ， z ，z^2 ， (1/z) ， (1/z)^2

然而在複數平面上單位圓上 1 + z + z^2 + (1/z) + (1/z)^2 = 0
此外 [z + (1/z)]*[z^2 + (1/z)^2] = - 1
所以可以解得
[z + (1/z)] = (1 + 根號5)/2
[z^2 + (1/z)^2] = (1 - 根號5)/2

此時 b^2 = 2 - [(1 + 根號5)/2]
而對應AC的對角線長的平方 x^2 = 2 - [(1 + 根號5)/2]
因此 (x/b)^2 = {2 - [(1 + 根號5)/2]}/{2 - [(1 + 根號5)/2]}

所以 AC長度的平方 = (a^2)*{2 - [(1 + 根號5)/2]}/{2 - [(1 + 根號5)/2]}

Answer 3

AC的長度=(1+根號5)a/2
換個方式吧
你把正五邊形和五條對線都畫出來
圖形中共有三種不同長度的線段
最短的令為1單位(裏面那個五邊形的邊啦)
第二種=(1+根號5)/2
最長的(外面的五邊形邊長)=(3+根號5)/2
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如果你學過相似形
用圖形裏面的大小等腰三角形去比一下就有答案了
加油

Answer 4

利用餘弦定理：a^2+b^2-c^2=2abcos(θ)....a,b,c為三角形三邊長，θ為邊長為a,b的邊所夾之角。
ANS：根據題意，可知ΔABC為等腰三角形，令AC長為c，且因為ABCDE為證五邊形，故∠ABC=108度
根據餘弦定理可知 a^2+a^2-c^2=2a^2cos(108度)，所以c^2=2a^2-2a^2cos(108度)。
cos(108度)= - cos(72度)=-sin(18度)
令18度=θ，則 5θ=90度，==> sin5θ=1
∴ sin5θ=sin(3θ+2θ)=sin3θcos2θ+cos3θsin2θ=(3sinθ- 4sin^3 θ )(1-2sin^2 θ ) + (4cos^3 θ - 3cosθ )(2sinθcosθ)=1
∴ (3sinθ-10sin^3 θ+ 8sin^5 θ )+[8sinθ(1-sin^2 θ) - 6sinθ(1-sin^2 θ) ]=1
∴ 16sin^5 θ- 20sin^3 θ+5sinθ-1=0
∴ (sinθ-1)(4sin^2 θ+ 2sinθ- 1 )^2=0
∴ sinθ= 1，(-1+√5)/4(重根)，(-1-√5)/4(重根)
∵ θ=18度，所以0 ∴ sinθ= 1，(-1-√5)/4....不合
∴ sinθ= (-1+√5)/4
∴ c^2=2a^2-2a^2cos(108度) = 2a^2+ 2a^2cos(72度) = 2a^2+ 2a^2sin(18度) = 2a^2+ 2a^2[(-1+√5)/4]= (5 - √5)a^2 / 2

2006-11-28 11:22:11 補充：
計算錯誤嚕！c^2=2a^2-2a^2cos(108度) = 2a^2+ 2a^2cos(72度) = 2a^2+ 2a^2sin(18度) = 2a^2+ 2a^2[(-1+√5)/4] = [ (6+2√5) /4] a^2= [(√5+1)^2 /4]a^2∴ c= ± (√5+1)a/2....(負不合)∴ c= (√5+1)a/2