無窮級數合難題

Question

A1為0.9循環A2為0.09循環A3為0.009循環求∑An(n從1到無限){循環的意思是從小數點後的0也要循環例如0.9為0.99999..而0.09為0.09090909...那0.009就是0.009009009...}

Answer 1

原級數
=(1/1)+(1/11)+(1/111)+(1/1111)+(1/11111).....
這並非等比級數，所以上面的二位都弄錯了
我也求不出它的和，但我猜它99.9%是個無理數。

Answer 2

a1=0.9循環=1 a2=0.09循環=1/10 a3=0.009循環=1/100
所以 r= a2/a1=1/10除以1 = 1/10
無窮等比級數總和: a1/1-r
1/1-1/10=1/十分之九=9/10
∑An(n從1到無限)=9/10

Answer 3

因為A1＝0.9的循環＝1，(利用循環小數化為分數的公式)
A2＝0.09循環＝0.1，
A3、A4.......等依序完成，
所以求∑An(n從1到無限)＝1＋0.1＋0.01＋0.001＋0.0001＋.......
利用無窮等比級數求和的公式a / 1－r，
∑An(n從1到無限)＝1 /(1－0.1)＝10/9