關於不等式最值的問題~請高手幫幫忙

Question

如果一個直角三角形周長為2,則它的最大面積是多少?
請高手幫幫忙~

Answer 1

一、令直角三角形兩股長為a,b，則周長a+b+√(a^2+b^2)=2二、由算幾不等式，可知a+b≧2√(ab)，等號成立條件為a=b√(a^2+b^2)≧√2√(ab)，等號成立條件為a=b三、由於兩式等號成立條件皆相同，可以推得a+b+√(a^2+b^2) ≧(2+√2) √(ab)(2+√2) √(ab)≦2面積=ab/2≦3-2√2由此得證兩股相等時面積最大。

Answer 2

假設直角的對邊固定當底，三角形的面積是底乘高除以二，
所以高要最大的，就是等腰直角三角形，而它的三邊比為1：1：根號2
設一邊為x
2x+根號x=2 ---三邊和=2 ， x=2/2+根號2
三角形面積=x*x/2
= 2/2+根號2*2/2+根號2/2
=8/4+4根號2+2
= 4 /3+2根號2


希望你看的懂

Answer 3

固定周長的直角三角形，面積最大為等腰直角三角形。設ㄧ股為 X 則：X + X + √2 X = 2(2+√2)X = 2X = 2 / (2+√2) = 2-√2所以三角形最大面積 = (2-√2)2 / 2 = 3-2√2答案：3-2√2