證明題，有關分數的

Question

1+1/2+1/3+...+1/20=n/m, n/m是最簡分數, 證n可被5整除.

Answer 1

1~20的最小公倍數是16*9*5*7*11*13*17*19=232792560，它是5的倍數，卻不是25的倍數，如果把每一項通分，使得每一項分母皆為232792560，那麼分子就可以直接相加，成為a/232792560的形式，此時只要證明a是25的倍數即可。因為若a是25的倍數，a/232792560分子分母同除以5，分母就沒有5這個質因數了，但分子還有5這個質因數，此時即使可以再約分，分子的5也不會被約掉，所以化為最簡分數時，分子必為5的倍數。(我並沒有說a/232792560是最簡分數喔！)第1項：16*9*5*7*11*13*17*19≡(-9)*9*5*7*11*(-12)*(-8)*(-6)≡10(mod 25)第2項：8*9*5*7*11*13*17*19≡8*9*5*7*11*(-12)*(-8)*(-6)≡5(mod 25)第3項：16*3*5*7*11*13*17*19≡(-9)*3*5*7*11*(-12)*(-8)*(-6)≡-5(mod 25)第4項：4*9*5*7*11*13*17*19≡4*9*5*7*11*(-12)*(-8)*(-6)≡-10(mod 25)第5項：16*9*7*11*13*17*19≡(-9)*9*7*11*(-12)*(-8)*(-6)≡12(mod 25)第6項：8*3*5*7*11*13*17*19≡8*3*5*7*11*(-12)*(-8)*(-6)≡10(mod 25)第7項：16*9*5*11*13*17*19≡(-9)*9*5*11*(-12)*(-8)*(-6)≡5(mod 25)第8項：2*9*5*7*11*13*17*19≡2*9*5*7*11*(-12)*(-8)*(-6)≡-5(mod 25)第9項：16*5*7*11*13*17*19≡(-9)*5*7*11*(-12)*(-8)*(-6)≡-10(mod 25)第10項：8*9*7*11*13*17*19≡8*9*7*11*(-12)*(-8)*(-6)≡6(mod 25)第11項：16*9*5*7*13*17*19≡(-9)*9*5*7*(-12)*(-8)*(-6)≡10(mod 25)第12項：4*3*5*7*11*13*17*19≡4*3*5*7*11*(-12)*(-8)*(-6)≡5(mod 25)第13項：16*9*5*7*11*17*19≡(-9)*9*5*7*11*(-8)*(-6)≡-5(mod 25)第14項：8*9*5*11*13*17*19≡8*9*5*11*(-12)*(-8)*(-6)≡-10(mod 25)第15項：16*3*7*11*13*17*19≡(-9)*3*7*11*(-12)*(-8)*(-6)≡4(mod 25)第16項：9*5*7*11*13*17*19≡9*5*7*11*(-12)*(-8)*(-6)≡10(mod 25)第17項：16*9*5*7*11*13*19≡(-9)*9*5*7*11*(-12)*(-6)≡5(mod 25)第18項：8*5*7*11*13*17*19≡8*5*7*11*(-12)*(-8)*(-6)≡-5(mod 25)第19項：16*9*5*7*11*13*17≡(-9)*9*5*7*11*(-12)*(-8)≡-10(mod 25)第20項：4*9*7*11*13*17*19≡4*9*7*11*(-12)*(-8)*(-6)≡3(mod 25)理論上可以用心算，只不過很煩因為第1~4項、第6~9項、第11~14項、第16~19項相加都是0，所以只要加第5,10,15,20項即可，a≡12+6+4+3≡25≡0(mod 25)因此a是25的倍數，得證！！

Answer 2

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Answer 3

用電腦算可以非常快就算出來
包括約分也可以自動約掉

2006-11-25 23:51:08 補充：
我用電腦算過
跟他的答案一樣
是可以整除沒錯
但我還在想怎麼只用筆來證

Answer 4

我算出的答案不能整除~~好怪~而且你列的算式不是可以算出一個數字，證明不是顯得有些奇怪？