一個有關應用級數求係數的問題…(20點)

Question

Q: (x+1)(x+2)(x+3)…(x+9)(x+10)之展開式中 x^8 項的係數為?
煩請詳解說明…感恩…^^a

x^8項係數為 1 ,......, 10 任取兩項乘積的總和
所以 x^8項係數之和
…請問…我不太了解，有點想不太出來，有誰可以跟我詳細的解釋嗎…感恩

Answer 1

(1*2+1*3+1*4+1*5+...+1*10)+(2*3+2*4+2*5+...+2*10)+...+9*10=[(1+10)*9]/2+[(6+20)*8]/2+[(12+30)*7]/2+.........+[(90+90)*1]/2=55+104+147+180+200+204+189+152+90=1321所以x8的係數為1321

2006-11-21 16:09:09 補充：
<<更正>>不好意思，第一個級數的第一項錯誤了！(1*2+1*3+1*4+1*5+...+1*10)+(2*3+2*4+2*5+...+2*10)+...+9*10=[(2+10)*9]/2+[(6+20)*8]/2+[(12+30)*7]/2+.........+[(90+90)*1]/2=54+104+147+180+200+204+189+152+90=1320

Answer 2

x^8項係數為 1 ,......, 10 任取兩項乘積的總和
所以 x^8項係數之和
=[(1+.......+10) x ( 1+ ......+ 10) - (1^2+.....+10^2 )]/2
=[ 55 x 55 - 10 x 11 x 21 / 6] /2
= 55 x 48 / 2
= 1320

在此解說一下上式
(1+.......+10) x ( 1+ ......+ 10) - (1^2+.....+10^2 ) 已經扣除 1x1,...., 10x10
剩下之和為所有不同的項相乘之和
但是1 x 10 , 10 x 1這種不同的項在上式皆會出現一次(兩者視為不同)
而我們算係數和只需要算一次(兩者視為相同)
故上式除以2就是我們要的答案...

2006-11-21 12:01:54 補充：
Σ(k=1 到 n) k^2 = n(n+1)(2n+1) / 6所以 1^2+....+10^2 = 10 x 11 x 21 / 6

Answer 3

(1*2+1*3+1*4+1*5+...+1*10)+(2*3+2*4+2*5+...+2*10)+...+9*10

=[(1+10)*9]/2+[(6+20)*8]/2+[(12+30)*7]/2+.........+[(90+90)*1]/2
### 這裡應該是 "(2+10)" 不是 "(1+10)"

=55+104+147+180+200+204+189+152+90

=1321
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算法是對了, 但結果是錯
1*2+1*3+1*4+1*5+...+1*10
= (2+10) * 9 / 2
= 54
所以答案應該是 1320