兩個等比級數之和為1的證明題(15點)

Question

(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+(1/30)+(1/60)+(1/120)+(1/240)=1上面這個級數是由前後兩個各有k項的等比級數所構成(兩級數之項數相同)，每一項都是正整數的倒數，而且全部總和為1。試證明這樣的級數有無限多組。

Answer 1

對所有大於2的正整數k
(1/2) + (1/2)^2 + (1/2)^3 + ...........+(1/2)^k = 1 - [1/(2^k)] = [(2^k) - 1]/(2^k)

又 (2^k)/[(2^k) - 1] = 1 + {1/[(2^k) - 1]}

所以 【1 + {1/[(2^k) - 1]}】*【(1/2) + (1/2)^2 + (1/2)^3 + ...........+(1/2)^k】= 1

左邊展開後 可得兩個k項等比級數 首項分別是 1/2 與 (1/2)*{1/[(2^k) - 1]}】
皆 (1/2) 為公比 且 各項皆為分子=1的分數

Answer 2

我看錯題目了嗎？怎麼覺得證明和題目敘述有些出入？

Answer 3

無

2006-11-22 18:15:37 補充：
阿偉：
砌雲風的意思是：
有兩個等比級數，一個首項1/2、項數k、公比1/2，
另一個首項1/[2^(k+1)-2]、項數k、公比1/2，
這樣的兩個等比數列會符合條件。

2006-11-24 23:35:29 補充：
我明明是說「這樣的級數有無限多組」呀！
這樣的級數是怎樣的級數？
1.由前後兩個各有k項的等比級數所構成
2.每一項都是正整數的倒數
3.全部總和為1

我沒有說「對每個k都可以找到一組」，也沒有說「對每個k都要找到無限多組」呀！
如果你要問我的意思是前者還是後者，那當然是前者，不過我真正要說的是「這樣的k有無限多個」，無限多個k自然構成無限多組這樣的級數啦！是你對無限多這個詞過度解讀了吧！？

Answer 4

突然想問...

你有沒有及時通阿?

2006-11-21 14:39:27 補充：
那有沒有msn啊