喵貓--數學歸納法

Question

最近又到了數學歸納法的季節喵貓也來應景一下....有一數列定義如下:a1 = 1 a2 = 2       5an-1 -3an-2 (若 an-1.an-2 是偶數)an =        an-1 - an-2   (若 an-1.an-2 是奇數)試利用數學歸納法證明: 對於每個正整數n , an ≠ 0      

Answer 1

Claim:
1. 若 n屬於 3r+1, 則 a_n屬於 4r+1. ( 即若 3| n-1, 則 4| a_n - 1. )
2. 若 n屬於 3r+2, 則 a_n屬於 4r+2.
3. 若 n屬於 3r , 則 a_n屬於 4r+3.
很明顯的, a_1, a_2皆滿足上述條件
假設 n<=k, a_n皆滿足上述條件
當n=k+1時,
i. 若 n=k+1屬於 3r , 根據歸納法假設 a_(n-1)屬於 4r+2 且 a_(n-1)屬於 4r+1.
則 a_n = 5 a_(n-1) - 3 a_(n-2) = 4s + 7 屬於 4r+3.
ii. 若 n=k+1屬於 3r+1 , 根據歸納法假設 a_(n-1)屬於 4r+3 且 a_(n-1)屬於 4r+2.
則 a_n = 5 a_(n-1) - 3 a_(n-2) = 4s + 9 屬於 4r+1.
則 a_n = a_(n-1) - a_(n-2) = 4s - 2 屬於 4r+2.
iii. 若 n=k+1屬於 3r+2 , 根據歸納法假設 a_(n-1)屬於 4r+2 且 a_(n-1)屬於 4r+1.
則 a_n = a_(n-1) - a_(n-2) = 4s - 2 屬於 4r+2.
根據 i. ii. iii. 及歸納法, claim成立!

又 0屬於 4k, 且 a_n每一項皆不屬於4k. 所以對於每個正整數n , a_n ≠ 0

2006-11-19 23:26:36 補充：
假設 n<=k(k>=2), a_n皆滿足上述條件

2006-11-19 23:54:20 補充：
ii最後那行是多餘的

2006-11-20 14:28:45 補充：
i. 若 n=k+1屬於 3r , 根據歸納法假設 a_k屬於 4r+2 且 a_(k-1)屬於 4r+1.則 a_(k+1) = 5 a_k - 3 a_(k-1) = 4s + 7 屬於 4r+3.

2006-11-20 14:29:49 補充：
ii. 若 n=k+1屬於 3r+1 , a_k屬於 4r+3 且 a_(k-1)屬於 4r+2.則 a_(k+1) = 5 a_k - 3 a_(k-1) = 4s + 9 屬於 4r+1.iii. 若 n=k+1屬於 3r+2 , a_(k)屬於 4r+1 且 a_(k-1)屬於 4r+3.則 a_(k+1) = a_k - a_(k-1) = 4s - 2 屬於 4r+2.

Answer 2

你的筆誤還挺多的ㄝ
而且還是用複製貼上的
n=k+1屬於3r+2，a_(k+1)的前兩項是不是應該是都是奇數呀！？

Answer 3

等一下好好來想一下