喵貓--複數比大小？正負？

Question

Ａ：兩複數是否可比大小？Ｂ：如（Ａ）答案是不可，那一複數是否有正或負之分Ｃ：如（Ｂ）答案是有，那2-3i 是正的還是負的?Ｄ：如（Ｂ）答案是沒有，那題設條件＂ｘ為正實數＂和＂ｘ為正數＂是否有分別？如果有，請解釋之如果沒有，那多寫一個＂實＂字的意義是？感謝您的回答，贈送您喵貓金幣和40點.

Answer 1

A. 可以. 所謂比大小就是把所有複數排個順序出來
一個常見的排序就是字典式排序
a+bi > c+di
若且為若 1. a>c 或是 2. a=c 且 b > d
當然還有很多排法....例如用極座標的兩個座標做字典式排序
B. 所謂的正負號 就是把所有複數分割成三塊P, 0(0+0i), N
使得 P x P N x N 還是屬於 P
P x N N x P 還是屬於 N
以下證明這樣的分割不存在 所以沒有正負號之分

因為實數軸包含在複數裡面
所以 r + 0i 屬於 P 若是 r>0
N 若是 r<0
(必須繼承實數上的分割方式,不然會矛盾)
那問題就出來了, i要放在P或是N
(1) 若 i 屬於 P, 則 i x i = -1屬於N 與 P x P屬於 P矛盾
(2) 若 i 屬於 N, 則 i x (-1) = - i 屬於 P.
如此 (-i) x (-i) = -1 屬於 N 與 P x P 屬於 P 矛盾.
故複數上沒有所謂正負號的分割.
(c) 回答同上
(d) 基本上我認為說正數就是說"正實數".

2006-11-17 01:14:39 補充：
所以 r + 0i 屬於 N 若是 r<0

2006-11-17 01:57:26 補充：
所謂比大小就是定義一個嚴格偏序, 那複數上是可以定義的.

2006-11-17 01:58:33 補充：
比大小不須滿足加法

2006-11-18 00:09:56 補充：
本來就只有正實數 這也是嚴謹的說法
即使是我看的大部分原文書
都會強調是正實數

2006-11-19 11:54:26 補充：
我看到的原文書,都只用"正實數"...
沒有看到用正數 除非是明顯可以確定是實數的情形下. 所謂的嚴謹 是指或許有些作者嫌麻煩只用"正"來敘述.
事實上也只有實數才有正負. 就算偷懶, 讀者也能夠確定其意涵.

2006-12-08 15:03:43 補充：
正負系統不就是把所有的數分成三類
Postive(P), 0, N(Negative)
而且要維持 P * P, N * N 還是 P
P * N, N * P 是 N

2006-12-08 15:08:38 補充：
我的證明是說
在複數不存正負號的分割

就是要維持
正乘正 負成負 還是 正 正乘負以及負乘正還是負
這樣的分割方式不存在

Answer 2

P又是啥...
NZQRC裡面哪裏有P......

2006-12-01 18:57:10 補充：
我的天...
複數是不能比大小的，
怎麼大家都投給錯的人阿??

Answer 3

也對，「實正數」才是沒有意義的說法
「正實數」不會是被解釋為「實的正數」，而是「正的實數」

之前看到這個問題還認為所有印上「正實數」的書都是浪費墨水
於是乎，克勞棣大大的看法比較先進

（這裡似乎不是我該來的地方……怕怕）

Answer 4

若[定義]a大於b
<=>a-b>0

則兩複數不可比大小.

簡單的說:複數(例:1+i)是大於0
顯然與數學中有許多地方產生矛盾......

2006-11-22 07:14:54 補充：
設1+i>0
則1>-i兩邊各乘i(先設i>0)
則i>1(很奇怪!)
那i<0則i<1(也很奇怪!)
........這樣子在實數可以
但複數不可以

2006-11-23 07:15:51 補充：
實數可以
但複數不可以

2006-11-24 09:04:42 補充：
有沒有對實數同時對複數同時成立的[比大小]的[定義]?
應該是有的 ?...
但 不是=若a>b 則(a-b)>0

2006-11-24 20:08:27 補充：
可能不可行?
1.1+i大於1
則i>0?
2.4+3i大於3+4i嗎?
則1-i大於0?

Answer 5

天狔：
i^2＞0 => －1＞0
何以見得兩邊平方不等號方向不變？

而且你確定假設i<0也有類似抵觸三一律的結果嗎？(以相同手法來做，一樣兩邊平方不等號方向不變)
i<0，則i^2<0 => －1<0
將－1<0 兩邊同加1，可得 0<1
將－1<0 兩邊同乘－1，得到1＞0(不等式會變向，因為這裡－1<0)
由i<0出發得到0<1且1>0，與三一律抵觸？？？

2006-11-19 20:37:05 補充：
喵貓：
我覺得你忽略一件重要的事了。

如果沒有，那多寫一個＂實＂字的意義是？毫無意義！！
如果沒有，那多寫一個＂正＂字的意義是？告訴你這個實數不是0，也不是負的。

就算正實數必然是正數，也沒必要區分實數的正負後，就要"實"字退場吧！？

你只想到區分正數之實虛的意義，卻沒想到區分實數之正負的意義。
正數沒必要加上實字，實數卻可以加上正字唷！(因為實數不一定是正的)

2006-11-26 11:26:26 補充：
我前面不是說了嗎？
你只想到區分正數之實虛的意義，卻沒想到區分實數之正負的意義。
正數沒必要加上實字，實數卻可以加上正字。(因為實數不一定是正的)

正實數是正的實數，有別於0和負的實數，實數毫無疑問可以區分正負；而你在意的那個東西，文法上應該叫"實正數"，但是根本沒人這樣叫，所以也沒什麼不對的。

2006-12-01 22:46:59 補充：
P是positive，N是negative吧！？

Answer 6

還是沒有個定論？

2006-11-17 20:43:04 補充：
覺得可以分正負的網友請貼出一些相關參考資料，多謝。

覺得不行的，我也想問

既然正實數的實字不用寫

那為什麼一上了高中或甚至國中後期

考卷上就要煞有其事的把正數變成正實數？

這樣看起來比較有學問嗎？

不是要節省資源？

ｘ屬於Ｒ＋

不是也可以用ｘ＞０替代？

2006-11-18 14:03:11 補充：
嚴謹?

那請指出一個例子

找出一個數是正數但不是正實數

2006-11-25 22:32:02 補充：
講半天快離題了...

請問地球人:

在現在並未定義複數的比較大小前提下

正數是否絕對等於正實數,不失嚴謹?

如果是的話,為何要寫後者不寫前者

Answer 7

有一個夜晚，捷運圓山站的喵貓閉著眼睛臥在月台邊的鐵軌上，許多乘客看到了 ……
甲：這隻貓在沉思，像是在想數學問題，看起來是一隻智慧貓。
乙：這隻貓在傾聽，準備要衝電車，是一隻勇敢貓。
丙：在睡覺吧！一動也不動。
丁：我比較擔心，喵貓會不會想不開啊？
tom：喵貓是多拉Ａ夢，常有許多令人意想不到的法寶……

Answer 8

複數沒有定義比較大小，不是想不出可行的定義，而是定義了並沒有實質意義可言，所以不予定義。

2006-11-21 18:03:25 補充：
請問 phjongc，矛盾的地方在哪裡？

2006-11-22 08:37:28 補充：
你的推論也很奇怪。
設來設去不曉得設的準則是什麼。
先定義出你的大小要如何比較，再看奇不奇怪。

2006-11-23 08:29:49 補充：
不是不可以，複數可以定義出如何比較大小，沒有矛盾。而這樣的定義，在經過運算之後並不一定會繼續成立，如
a>0,b>0，ab不一定大於0。
數學上的定義除了要沒有矛盾之外，還要有意義。定義複數如何比較大小，並沒有實質的意義，所以不予定義，但不是不可以定義。

2006-11-24 11:43:22 補充：
有一個方法如下：
先比實部，如果實部相等，再比虛部。
這個定義不違反實數的比較大小的方法。
在此定義定下，
若a>b，則a-b>0可以成立。
若a>b,c>d，則a+c>b+d可以成立。
但若a>0,b>0，a*b不一定大於0。

2006-11-25 09:54:42 補充：
依照上面的規則，先比實部，若實部相等再比虛部，則i>0，1-i>0都會成立。

2006-11-25 23:55:57 補充：
正數絕對代表正實數。
兩個都可以用。

Answer 9

請問 S.H.M ，關於你所舉的內容及定義，是否能提供詳細的參考資料呢？
我想了解是什麼的學問、什麼樣的情況，會需要對複數做正負的區別。
老實說，未曾看過你所說的這些東西在我的認知世界裡，和天猊是一樣的。

2006-11-17 15:35:23 補充：
嗯，複數的應用我學過我也知道。複數的絕對值可以比較大小，相信多數人能理解。
但我想進一步求知的是定義「複數的正負；正複數、負複數」，有哪些參考資料可以查閱。

2006-11-17 15:59:38 補充：
舉例來說，打開Google，輸入"positive complex number"，但找不到與"positive complex number"一致的結果。
哪裡可以找到論及postive complex number或negative complex number的"參考資料"呢？
又或者「正複數」與「負複數」該如何用英文稱呼它們？

Answer 10

A : 不可，因為複數體不滿足有序公設，即三一律。首先i≠0，考慮 i＞0 或 i＜0 這兩種情況，若 i＞0，則i^2＞0 => －1＞0將－1＞0 兩邊同加1，可得 0＞1                                                                                將－1＞0 兩邊同乘－1，得到 1＞0（不等式不會變向，因為這裡－1＞0）                                                                                由 i＞0 出發得到 0＞1 且 1＞0，與三一律抵觸，所以假設 i＞0 是錯的。                                                                                同樣地假設i＜0也有類似抵觸三一律的結果，所以i＜0也非真。                                                                                因此虛數之間無法比較大小。B : 無D : 沒有分別，多寫一個實字可以說是沒有任何意義，因為兩句話代表的事情都一樣。

2006-11-17 19:58:26 補充：
上述的複數的正負只是在別的領域因為問題需要自己分出來的，數學上無此一說。另外數學並沒有有把複數的大小定義出來，那個r是|z|的大小並非z的大小.

複數體是無序體這在數學上早有定論，這不用爭。別的領域在使用的時後為了切合問題與討論方便而硬把複數分類成正負是它們的自由，此與數學無關。

令外在複數上的確可以定義偏序，不過我想原發問者應該不知道這件事，他想問的該是全序才對。

2006-11-19 22:03:04 補充：
在一個有序體裡面

1)若 x>0 且 y 2)若 x<0 且 yxz

這是可以經過證明而得到的性質

3)i^2 = -1 這則是一個定理

from 1)and 3),0 0<-1
from 2)and 3),0>i => 0<-1

分別在兩個 case 之後的 argument 一模一樣, 矛盾也相同.

2006-11-19 22:04:58 補充：
你可以 review 一些大學數學教本的第一章或是附錄. 例如 Rudin 的高微第一章的

prop.1.18(b)(c)
Thm.1.28

而證明複數體不是一個有序體則被放在它第一章後面的習題第8題