y'+(1/x)y=(x^-4)(y^-3/4)

Question

y'+(1/x)y=(x^-4)(y^-3/4) 初值：y(1)=1
解為 y=(1/x)[12/5-(7/5)(y^-5/4)]^4/7
這題我解的跟答案有些不一樣
麻煩請會的大大幫我解一下

Answer 1

Problem：Solve y' + ( 1／x ) y = x - 4 y - 3／4，y(1) = 1sol：　　這是標準的 Bernoulli's o.d.e.，可以化成一階線性 o.d.e. 來解。　　原式移項得：y 3／4 y' + ( 1／x ) y 7／4 = x - 4　　令 u = y 7／4 → u' = ( 7／4 ) y 3／4 y'　　　　　　　 → y 3／4 y' = ( 4／7 ) u'　　→ ( 4／7 ) u' + ( 1／x ) u = x - 4　　→ u' + ( 7／4 )( 1／x ) u = ( 7／4 ) x - 4 ～ 一階線性 o.d.e.　　積分因子：I(x) = e∫( 7／4 )( 1／x )dx = e ( 7／4 ) ln│x│　　　　　　　　   = x 7／4　　u = x - 7／4 (∫x 7／4‧x - 4 dx + c )　　   = x - 7／4 (∫x - 9／4 dx + c )　　   = x - 7／4 [ - ( 4／5 ) x - 5／4 + c ]　　   = cx - 7／4 - ( 4／5 ) x - 3　　→ u = cx - 7／4 - ( 4／5 ) x - 3　　→ y 7／4 = cx - 7／4 - ( 4／5 ) x - 3 　　y(1) = 1 → x = 1 , y = 1　　→ 1 = c - ( 4／5 )　　→ c = ( 9／5 )　　→ y = ( 9／5 ) x - 7／4 - ( 4／5 ) x - 3 #*　　顯然我算的答案跟解答提供的答案差距很大，不過一階 o.d.e. 解的型式不會只有固定一種，不同的方法會算出不同型式的解答，我是不確定解答是用什麼解法解出來的，不過我的解法也沒錯，提供您參考。

2006-11-16 23:20:09 補充：
抱歉，版主，最後答案不是 y = ..... 而是 y^( 7／4 ) = ..... 謹此致歉