一個微分方程的問題

Question

solve the equation
(x-2y+1)dx+(4x-3y-6)dy=0
我是個微方的初學者 這個不是exact 所以不知道怎麼做

那是不是這題就沒辦法化成 y=...x 這種形式呢??

Answer 1

這個一階一次非齊次常微分方程式，有既有的解題步驟，如下：(1) 平移，將非齊次項(也就是常數項)消去，使變為齊次微分方程式。(2) 變數變換，使齊次常微分方程式，轉為可分離變數型。(3) 積分得解後，將變數換回原題意的變數。解：(1) ( x - 2y + 1 ) dx + ( 4x - 3y - 6 ) dy = 0　　令 x = X + 3 、 y = Y + 2 (*註)，則 dX = dx 、 dY = dy　　代回原方程式，得新方程式： ( X - 2Y ) dX + ( 4X - 3Y ) dY = 0(2) 令 Y = U．X ，則 dY = U．dX + X．dU　　( X - 2Y ) dX + ( 4X - 3Y ) dY = 0　⇒ ( X - 2 U．X ) dX + ( 4X - 3 U．X ) ( U．dX + X．dU ) = 0　⇒ ( 1 - 2 U ) dX + ( 4 - 3 U ) ( U．dX + X．dU ) = 0　⇒ ( 1 + 2U - 3U² ) dX + ( 4 - 3 U ) X．dU = 0　⇒ [ ( 4 - 3U ) / ( 3U² - 2U - 1 ) ] dU = ( 1 / X ) dX　⇒ [ (1/4) / ( U - 1 ) - (15/4) / ( 3U + 1 ) ] dU = ( 1 / X ) dX　⇒ ln| U - 1 | - 5．ln| 3U + 1 | = 4．ln| X | + Constant　⇒ ( U - 1 ) / ( 3U + 1 )5 = C．X4 ，其中 C 為待定常數(3) U = Y / X = ( y - 2 ) / ( x - 3 ) 、 X = x - 3 代回 (2) 的解　⇒ [ ( y - 2 ) / ( x - 3 ) - 1 ] = C．( x - 3 )4．( 3 ( y - 2 ) / ( x - 3 ) + 1 )5　⇒ ( y - x + 1 ) = C．( 3y + x - 9 )5*註：何以得知令 x = X + 3 、 y = Y + 2 ？　起初先令兩個未知常數 a 、 b ，設 x = X + a 、 y = Y + b　代回方程式 ( X - 2Y + a - 2b + 1 ) dX + ( 4X - 3Y + 4a - 3b - 6 ) dY = 0　今我們希望 { a - 2b + 1 = 0 , 4a - 3b - 6 = 0 } 以消去非齊次項，　所以選擇 { a = 3 、 b = 2 } (解聯立方程式) 恰符合所求。　因此不妨將 { x-2y+1=0 , 4x-3y-6=0 } 視為兩直線，解得 (3,2) 為其交點。

2006-11-16 13:47:31 補充：
從此題的通解看來，應該是無法化做顯函數的式子，(也就是無法以 y = f(x) 表示)只能用隱函數表達。