24x≡6(mod 81) 求所有解

Question

24x≡6(mod 81) 求所有解
幫個忙!!
功力不足 ...
贈20點

Answer 1

(1)ac≡bc(mod mc)←→a≡b(mod m)，其中a,b為整數，m,c為正整數。(可用來改變模數)(2)ad≡bd(mod m)←→a≡b(mod m)，其中a,b為整數，m,d為正整數且(m,d)=1。(不改變模數)根據(1)、(2)兩引理，我們可以直接把x的係數變為1。24x≡6(mod 81)，用(1)，同除38x≡2(mod 27)，用(2)，同除24x≡1(mod 27)4x≡1≡1+27≡28(mod 27)，用(2)，同除4x≡7(mod 27)故x=27t+7，t為整數。

2006-11-15 21:13:41 補充：
抱歉，同除3,同除2,同除4的「除」更正為「除以」。

Answer 2

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Answer 3

24x ≡ 6 (mod 81)
則 24x = 6 + 81y
得到 8x = 2 + 27y
即 8x - 27y = 2
使用輾轉相除法
27 = 8x3 + 3
8 = 2x3 + 2
3 = 2x1 + 1
1 = 3 - 2x1
= 3 - (8 - 2x3) x 1
= -8 + 3x3
= -8 + (27-8x3) x 3
= -10 x 8 + 27 x 3
因此 x = -10, y = 3 是 8x-27y = 1 的一解
把 x , y 同乘 2 得到
x = -20, y = 6 是 8x-27y = 2 的解
因此可以知道一般解為
x = -20 + 27t
y = 6 + 8t (t 為任意整數)
故得到 x = 27t - 20, 其中 t 是任意整數