數學八進位的問題?

Question

1.請問八進位數學ａ．ｂ．ｃ．ｄ．．．ｚ是七的倍數　　　　判別法為何？為什麼？2.有１２２１顆石頭 甲（先）乙後輪流拿取或兩顆石頭　拿到最後一顆石頭的人（ａ）贏（ｂ）輸　請問有必勝把握的人分別是誰？策略為何？3.請問質數的定義為何？質數個數是finite或infinite?4.有個三進位的數字ａｂｃ＝Ａ　若Ａ除以３餘２　除以９餘５　請問此三進位可能為何？

Answer 1

1. 對八進位而言 判斷七的倍數 跟十進位判斷九的倍數方法一樣,
就是把各個位數加起來 看看能不能被七整除嚕, 因為在八進位的世界裡..
123= 1*8^2+2*8+3*1 =1*(7+1)^2+2*(7+1)+3*1 == (同餘) 1+2+3 (除以七)

2.題目有漏打字嗎? 可以拿一顆或兩顆石頭吧!? 一顆或兩顆, 基本上這根3有關..
我說簡單例子吧.如果有三顆石頭, 一次也是只能拿一顆或兩顆,
先討論(a) 我想如果拿到最後一顆是贏的話, 先拿的人就必輸了.
同理1221是三的倍數 所以在A情況下 後拿的人必贏~
策略是..對方拿1你就拿2, 對方拿2你就拿1, 把數字維持在3的倍數 然後給對方拿,
我想你就必勝了.

(b)都恰恰相反.

3.質數的定義就是一個大於一的正整數 正因數只有自己跟1,
質數的個數 有無窮多個.. :) 至於如何證明 hint: 反證法

4.在三進位的世界裡面 除以3餘2, 一定是 XX2
除以9於5, 定就是 X12
所以 可以為012, 112, 212 三個答案

Answer 2

Ａ除以３餘２　除以９餘５
你的意思是「Ａ除以10餘2　除以100餘12」嗎？

Answer 3

1.因為是八進位將之轉換成十進位來表示 以看成a*(7+1)*(7+1)*......*(7+1)+b*(7+1)*(7+1)*(7+1)*..*(7+1)+.....................y*(7+1)+z*1=S
令 S=7N+ K NK為整數
7N+K= a*(7+1)*(7+1)*......*(7+1) + b*(7+1)*(7+1)*(7+1)*..*(7+1) +........y*(7+1 )+z
= [7*(-------)+a]+[7*(.........)+b]+...................[7y+y]+ z
K= a+b+c+..........+z
如果 K 能被7整除 則S為七的倍數 也就是說
利用 a+b+c+..........+z 來判斷S是否為七的倍數

2.輪流拿取或兩顆石頭 這邊看不懂 我猜是 最多取兩顆 最少取一顆
甲先乙後 令甲取a 乙取b a和b 小於等於2 且大於0
分析a+b的情況 若要有必勝把握 必須甲或乙能掌控(a+b)拿取一次的顆數
若甲拿一顆 乙可以決定拿一顆 或兩顆a+b=2 或3
若甲拿兩顆乙可以決定拿一顆 或兩顆 a+b=3 或4
由上可知 不管甲拿幾顆 乙只能掌握 a+b=3
反之亦然
拿到最後一顆為贏的情況下 有必勝把握的人是乙
1221=1218+3=3*406+a+b
在甲先拿的情況下
乙只要以掌握住a+b=3 的方法 即可取得最後一顆

拿到最後一顆為輸的情況下 有必勝把握的人是甲
只要甲掌握住 取完之後剩下3k+1 k為整數 最後拿到的必然是乙
1221= 3*407
甲先拿 3*407-a=3k+1
3*406+3-a=3k+1 當a=2時 剩下 3k+1 顆
也就是說 第一手甲先拿兩顆
接下來 隨著乙拿b顆 就跟著拿3-b顆
甲拿完後剩下一顆 乙必拿 故乙敗甲勝

3. 質數的定義 除了一和本身之外 沒其他公因數 就是質數 1和 0 不是質數
如 2 3 5 7 11 13 ..... 應該是無限......@@. 因為不會證明只能說應該

4 abc轉換成十進位 a*3*3+b*3+c*3/3=A
9a+3b+c=A a,b,c 均小於三 且大於等於0
0<=A<=9*2+3*2+2=26
Ａ除以３餘２　除以９餘５
3和9的最小公倍數為9
令A=9M+5
A= 9M+3+2=3(3M+1 )+2
0小於等於9M+5小於等於26
故M=0,1,2 A=5,14,23 5=1*3+2 12
14=1*3*3+1*3+2 112
23=2*3*3+1*3+2 212
此三進位可能為12 或112 或 212

若有錯請不吝指教

2006-11-15 01:31:51 補充：
剛找了一下無限的證明有人題問過請爬文http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1005041007760因太過艱深難懂 無法將之簡單''話''

Answer 4

你確定你的問題是正確的嗎?
我從來不知道三進位數字可以除以9...