數學歸納法證公式的原理是什麼？

Question

數學歸納法的證法，簡單來說就是「當、設、即、則」，當ｎ＝１、設ｎ＝ｋ即、則當ｎ＝ｋ＋１……這樣證下去。

可是我覺得很奇怪，因為在第二個步驟，即「設ｎ＝ｋ」時，幾乎都是直接認定如此，可是那是假設的吧！為什麼ｎ＝ｋ一定會成立呢？

如果不成立的話代表不能繼續證下去，那這個證法是哪裡來的？

數學不好，若有說錯請包含一下。

我的意思是，我們可以「設ｎ＝ｋ時成立→ｎ＝ｋ＋１時成立」。
換言之，公式成立是在滿足「ｎ＝ｋ」成立的情況下，但ｎ＝ｋ是我們假設的，怎麼知道到底成不成立呢？

Answer 1

1. 你可能從n=1,n=2,n=3,n=4,...一直證明到n=無窮嗎?不可能嗎,且無窮大到底有多
大?
2. 數學歸納法的原理可用"推倒骨牌"來說明(在此請不要考慮特殊狀況:骨牌出狀
況而沒有全倒)
3. 第一個骨牌推倒第二個骨牌,第二個骨牌推倒第三個骨牌,第三個骨牌推倒第四
個骨牌,...要推倒到何時?(請注意,以此類推式可以說明骨牌全倒,但不符數學的
嚴謹)
4. 第一個骨牌倒了(當n=1成立),設第k個骨牌倒了(設n=k成立)且推倒第k+1個骨牌
(即n=k+1也成立),則證明骨牌全倒(這就是數學歸納法)
5. 第4點補充說明, 設第k個骨牌倒了且推倒第k+1個骨牌,這句話強調必推倒下
一個骨牌,所以只要第一個骨牌倒了,一定會推倒下一個
6. 要想懂這個概念,可能需要花點時間,加油

Answer 2

１＜　當ｎ＝１時，Ｐ1成立　　　　　　　　　　　　　　【 "實驗" 步驟 】

２＜　設ｎ＝ｋ（ｋ屬於Ｎ）時，原命題成立，即Ｐk成立　【 "假設" 步驟 】
　　　則當ｎ＝ｋ＋１時，推得出Ｐk+1亦成立。　　　　　【 "推証" 步驟 】
　　　（即利用Ｐk成立→Ｐk+1亦成立）
　　　由數學歸納法知對　　　Ｐn均成立


Ｐ的意思是式子
Ｐ1表示式子用１代
Ｐk表示式子用ｋ代
Ｐk+1表示式子用k+1代


這樣解釋不知道你聽的懂不懂

Answer 3

對的～可用骨牌想喔

今天已知第１個倒了　　而你証出來：若第Ｋ個倒，則第Ｋ＋１個也倒

Ｋ是變數　適用於所有骨牌。

所以若依照Ｋ倒，則Ｋ＋１倒　可以用１代入　得若第１個倒了，則第２個倒

再代２：２倒→３倒

一直待下去結果就全倒了（全部成立）

Answer 4

因為你已經先證明當ｎ＝１原式成立了呀！
所以就可以假設當ｎ＝ｋ時原式成立(因為k等於1時是成立的)
而只要證明當ｎ＝ｋ＋１時原式也成立
因為當n=k=1時成立，而n=k+1=2時也成立(後來證明的)
既然n=2時成立，那麼n=3時也成立(同理可證)
....
所以不管n=多少都成立，即可得證！

Answer 5

你既然都說「設」ｎ＝ｋ即、則當ｎ＝ｋ＋１，
那何來n=k一定成立之說法？
一定成立就不用證了。
「設ｎ＝ｋ即、則當ｎ＝ｋ＋１...」整個步驟是要證明「若n=這個整數成立，則n=下一個整數也會成立」。
證畢果真如此，又已知n=1時成立，所以：
已知n=1成立，則n=2成立；
已知n=2成立(根據前一句話)，則n=3成立；
已知n=3成立(根據前一句話)，則n=4成立；
無限延續下去.....