如何證明關於整除的問題(離散數學)

Question

請問如何證明
n(3n^4+13n^2+8) 可以被 24 整除呢？

麻煩幫幫忙囉＞︿＜

Answer 1

"被 24 整除" 等價於 "被 8 整除且被 3 整除"

1. 證明 n(3n^4+13n^2+8) 被 3 整除
n(3n^4+13n^2+8) ≡ 3n^5 + 13n^3 + 8n (mod 3)
≡ n^3 + 2n (mod 3)
≡ n (n^2 + 2) (mod 3)

若 n ≡ 0 (mod 3)
則原式 n (n^2 + 2) ≡ 0 (mod 3) 被 3 整除

否則 n^2 ≡ 1 (mod 3),
亦可得到 n (n^2 + 2) ≡ n(1+2) ≡ 0 (mod 3) 被 3 整除

故 n(3n^4+13n^2+8) 被 3 整除

2. 證明 n(3n^4+13n^2+8) 被 8 整除

n(3n^4+13n^2+8) ≡ 3n^5 + 13n^3 + 8n (mod 8)
≡ 3n^5 + 5 n^3 (mod 8)
≡ (3n^2+5) n^3 (mod 8)

若 n 為奇數, 則 n^2 ≡ 1 (mod 8)
則原式 (3n^2+5) n^3 ≡ (3+5)n^3 ≡ 0 (mod 8) 被 8 整除

若 n 為偶數, 則 n^3 ≡ 0 (mod 8)
則原式 (3n^2+5) n^3 ≡ 0 (mod 8) 被 8 整除

故 n(3n^4+13n^2+8) 被 8 整除

由 1. 2. 知, n(3n^4+13n^2+8) 被 24 整除

用數學歸納法也可以, 不過證起來太複雜, 不推薦

Answer 2

末學覺得還是囉唆了點，係數可以扣到變負的，以利因式分解

1.證明n(3n^4+13n^2+8)被3整除
n(3n^4+13n^2+8)
≡n(n^2-1).....[因為8與(-1)對模3同餘]
≡n(n+1)(n-1)(mod 3)
連續3個整數乘積必為3的倍數
故n(3n^4+13n^2+8)被3整除

2012-02-20 02:14:41 補充：
2.證明n(3n^4+13n^2+8)被8整除
n(3n^4+13n^2+8)
≡n(3n^4-3n^2).....[因為13與(-3)對模8同餘]
≡3n^3(n^2-1)(mod 8)

若n為奇數,則n^2-1≡0(mod 8)，則原式3n^3(n^2-1)≡0(mod 8)被8整除
若n為偶數,則n^3≡0(mod 8)，則原式3n^3(n^2-1)≡0(mod 8)被8整除
故n(3n^4+13n^2+8)被8整除

由1. 2.知,n(3n^4+13n^2+8)被24整除

Answer 3

數學歸納法