5^x-7x=0

Question

5^x-7x=0
find x

請找出所有根，並有9位有效數字。

我十分懷疑一個人能否在格仔紙上精確畫出5^x。

0.1875這數字連兩位有效數字也沒有。

0.352984382905155是更加離譜的答案，你用電腦計的話最少也將這數放回方程中看看是不是接近0吧。

5^0.352984382905155-7(0.352984382905155)
=-0.7059....太過份了吧。

Answer 1

draw the graph
http://in.geocities. com/myisland8132/Boo k3.pub
we see that
there are roots about [0.1,0.5] and [1,1.5] use netwon's method to find the roots
let f(x)=5^x-7x
df(x)/dx=5^x*ln5-7
x(n+1)=x(n)-f(x(n))/ f'(x(n))
x(n+1)=x(n)-[5^x-7x]/[5^x*ln5-7]
let x(0)=0.1







interation
x(n)
x(n+1)

0
0.1
0.192889077

1
0.192889
0.195762463

2
0.195762
0.195765509

3
0.195766
0.195765509

4
0.195766
0.195765509

5
0.195766
0.195765509

6
0.195766
0.195765509

7
0.195766
0.195765509

8
0.195766
0.195765509

9
0.195766
0.195765509

10
0.195766
0.195765509

11
0.195766
0.195765509

12
0.195766
0.195765509

13
0.195766
0.195765509

14
0.195766
0.195765509

15
0.195766
0.195765509

16
0.195766
0.195765509

17
0.195766
0.195765509

18
0.195766
0.195765509

19
0.195766
0.195765509

20
0.195766
0.195765509

21
0.195766
0.195765509

22
0.195766
0.195765509

23
0.195766
0.195765509

24
0.195766
0.195765509

25
0.195766
0.195765509
let x(0)=1







interation
x(n)
x(n+1)

0
1
2.909873887

1
2.909874
2.384456635

2
2.384457
1.945415789

3
1.945416
1.634564379

4
1.634564
1.475430756

5
1.475431
1.434751456

6
1.434751
1.432301716

7
1.432302
1.432293164

8
1.432293
1.432293164

9
1.432293
1.432293164

10
1.432293
1.432293164

11
1.432293
1.432293164

12
1.432293
1.432293164

13
1.432293
1.432293164

14
1.432293
1.432293164

15
1.432293
1.432293164

16
1.432293
1.432293164

17
1.432293
1.432293164

18
1.432293
1.432293164

19
1.432293
1.432293164

20
1.432293
1.432293164

21
1.432293
1.432293164

22
1.432293
1.432293164

23
1.432293
1.432293164

24
1.432293
1.432293164

25
1.432293
1.432293164
so the roots are 0.195765509 and 1.432293164

Answer 2

5^x-7x=0

我用電腦解結果為
X = 0.352984382905155 (15位有效數字)

2006-11-12 00:04:05 補充：
你條數不是比人計，是比電腦計的。你若要人用解方程方法，我相信在知識 中無人解到。

Answer 3

在格仔紙上繪出 y=5^x 和 y=7x 兩條線，有兩個交點，它們便是答案。你也可以用2分法去試，有一個根在0至1之間，大約是0.1875。

2006-11-12 15:19:33 補充：
1. 閣下並沒有在原問題中寫出要 9 個位有效的答案。2. 只要將你想要的部份適當放大，繪圖法可達至任意準確度[起碼理論上如此]，在圖紙上劃出 y = 5^x 是可以的。3. 0.1875 己經是一個4位有效數字。