Combination

Question

A poker hand of 5 cards are randomly selected from a deck of 52 playing cards. How many different poker hands contain

a) full house (3 of a kind and a pair) 俘虜 ?

b) cards with 5 different numbers or letters 蛇?

c) 5 consecutive numbers or letters of same kind 同花荀?

d) double pairs with one other playing card 兩對?

e) 2 of a kind and other 3 are different kind?

f) all hearts?

Answer 1

a)讓我們先考慮俘虜的三隻相同牌
　我們先思想第一隻求其抽，那麼我們有５２種抽法
　因為第一隻已確定，跟著這三對餘下兩隻牌的組合是3C2（因為５１張牌，還剩下三隻，而我們需要抽其中二隻），所以三隻相同的組合是52x3C2=156，但因為其中有三次重覆所以真正的組合是１５６／３＝５２　


　現在再讓我們考慮俘虜中的一對牌，因為Ａ，２，３．．．Ｊ，Ｑ，Ｋ已有一款被抽作三隻相同樣，所以這一對牌的第一抽法只有，５２－４＝４８種抽法，而第二隻牌的組合就是3C1=3，所以這一對牌的組合是48X3=144，但其中也有二次重覆，所以組合為１４４／２＝７２

因此，俘虜的組合為５２ｘ７２＝３７４４

b)蛇的組合比較複雜，因為ＪＱＫＡ２並不是蛇，同樣ＱＫＡ３也不是蛇，如此類推，所以我們先考慮第一隻牌必須是少於或等於１０

第一隻牌的抽法是（少於或等於１０）＝４０
第二隻牌（大於第一隻牌一點）＝４
第三隻牌（大於第一隻牌二點）＝４
第四隻牌（大於第一隻牌三點）＝４
第五隻牌（大於第一隻牌四點）＝４

所以蛇的組合是＝４０Ｘ４Ｘ４Ｘ４Ｘ４＝１０２４０

c)與b題的情況相同，所以第一隻牌有４０種抽法
　第二，三，四，五隻牌，因為要同花故只有一種組合
　所以同花荀的組合是４０ｘ１ｘ１ｘ１ｘ１＝４０

d)兩對（不計四條，因為四條計在其中組合會多一些）
　先考慮第一對的抽法
　第一對的第一隻的抽法共有５２
　第一對的第二隻的抽法共有３
　因為其中有二次重覆
　所以第一對的組合是５２ｘ３／２＝７８

　第二對的第一隻的抽法共有４８
　第二對的第二隻的抽法共有３
　因為其中有二次重覆
　所以真正的組合是　４８ｘ３／２＝７２

　餘下一隻的抽法共有４４

　所以兩對的組合是７８ｘ７２ｘ４４＝２４７１０４

e)一對的組合是
　第一對的第一隻的抽法共有５２
　第一對的第二隻的抽法共有３
　因為有二次重覆，所以第一對的組合是５２ｘ３／２＝７８
　餘下第一張的組合是５２－４＝４８
　餘下第二張的組合是４８－４＝４４
　餘下第三張的組合是４４－４＝４０
　所以2 of a kind and other 3 are different kind＝78X48X44X40=6589440


f)all hearts = １３張heart中抽5張＝13C5=1286