黎曼積分與Lesbsgue integral

Question

令f(x)=1,if x€Q∩[0,1]  f(x)=0,if x不屬於Q∩[0,1]我們知道f(x)是黎曼不可積但它卻是Lesbsgue 可積,如何證明,並求其積分值

Answer 1

Write Q∩[0,1] = {r_1,r_2,...}. Define E_n = {r_1,r_2,...,r_n} and f_n = χ_(E_n), then f_n ↗ f.M.C.T. => f is lebesgue integrable and ∫f = lim(n->oo)∫f_n = lim(n->oo)∫χ_(E_n) = lim(n->oo) )∫_(E_n) = 0

Answer 2

不是 Riemann integrable, 是因為無論你如何取 [0, 1] 上的 partition, 每一個分段上, f 的最大值是 1, 最小值是 0, 你要以 step function 從上逼近,會得到積分值 1, 從下逼近會是 0, 此兩值永不相等。

Lebesgue integrable 是直接因為定義，f^{-1}(0) 及 f^{-1}(1) 是 Lebesgue measurable, 且 measure 分別是 1 及 0。 所以 f 是 simple function, 其積分值為
1 x 0 + 0 x 1 = 0。