有關完全平方數的國中數學問題

Question

有一個四位數，千位數和百位數一樣，十位數和個位數一樣，且這個四位數是一個完全平方數，請問該如何列出式子解決？

Answer 1

千位和百位一樣
十位和個位一樣
所以 奇位數和=偶位數和
該數為11的倍數

又
千位和百位一樣
十位和個位一樣
所以該數為
11*100~109
11*200~209
　　．
　　．
　　．
11*900~909
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
因為完全平方數
所以必為11*11*a*a
==>該數為11*(209　308　407　506　605　704　803　902)
209=11*19
308=11*28
407=11*37
506=11*46
605=11*55
704=11*64=11*8*8
803=11*73
902=11*82
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
因該數為完全平方數由以上可知
該四位數為11*11*8*8=7744
－－－－－－－－－－－－－以上用推的－－－－－－－－－－－－－－－
－－－－－－－－－－－－－以下用算的－－－－－－－－－－－－－－－
設原數為aabb
所以必有11的因數
則aabb/11=a0b
有因該數為完全平方數所以
a0b/11=(a-1)*10+(11-a)
又10a-10+11-a=9a+1為一完全平方數
所以9a+1=k^2　(0<=k<=9)
9a=k^2-1
9a=(k+1)(k-1)
因為k+1=9 ==> k=9-1=8
所以該數為11^2*8^2=7744

Answer 2

這有類似的

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Answer 3

[解] 令此四位數是 AABB = 1000A + 100A + 10B + B
= 1100A + 11B
= 11 ( 100A + B )
則 100A + B 必定是 11 的倍數
當 A = 2 B = 9 此四位數 2299 = 11*11*19
A = 3 B = 8 此四位數 3388 = 11*11*28
A = 4 B = 7 此四位數 4477 = 11*11*37
A = 5 B = 6 此四位數 5566 = 11*11*46
A = 6 B = 5 此四位數 6655 = 11*11*55
A = 7 B = 4 此四位數 7744 = 11*11*64
A = 8 B = 3 此四位數 8833 = 11*11*73
A = 9 B = 2 此四位數 9922 = 11*11*82

∴ 此數是 7744

Answer 4

設千位數和百位數一樣為 a   十位數和個位數一樣為 b   且這個四位數完全平方數為 m則  1000a+100a+10b+b=m2---->1100a+11b=m2 ---->11(100a+b)=m2 故  100a+b 必為 11 的倍數且其商必為完全平方數即 100a+b 必為 209 308 407 506 605 704 803 902 中之數故 100a+b 僅 704 為其所求故 a=7  b=4  即該數為 7744

Answer 5

由於千位數和百位數一樣，十位數和個位數一樣，滿足１１倍數（奇數位數和－偶數位數和 = 0）條件，故有１１^2＝１２１的因數，再嘗試乘其他完全平方數：

１２１＊９＝１０８９
１２１＊１６＝１９３６
１２１＊２５＝３０２５
１２１＊３６＝４３５６
１２１＊４９＝５９２９
１２１＊６４＝７７４４為解　^ ^