試證2+根號3為無理數？

Question

試證：2+√3為無理數(想不到要怎麼做耶…有試過先假設它是有理數，然後試圖要推得矛盾，可是最後還是失敗…><)

我真的無言了…
原來那麼簡單…><
那如果題目改成要證√3+√5是無理數呢？

嗯…謝謝大家的回答
在看過大家的回答後，
我想我已經知道解這題的核心所在了…^^

Answer 1

我覺得啦~剛剛兩位網友回答的~題目是要證明2+√3為無理數
可是他們卻使用到無理數加有理數等於無理數
這樣不就是已經認定2+√3為無理數嗎?拿結果證明所求是不是怪怪的阿?

給你一個參考想法~一般證明無理數通常都不能直接證明
大部分的方法都是利用反證法~也就是假設為有理數~然後進行有理數的運算
發現的矛盾之後就可以說明是無理數

另外一種證法我們可以利用高中數學學過的牛頓定理
令x=2+√3 則x-2=√3 則x^2-4x+4=3 則x^2-4x+1=0
在這個一元二次方程式中~令f(x)=x^2-4x+1
若x=3 代入f(x)=3*3-4*3+1=-2
若x=4 代入f(x)=4*4-4*4+1=1
所以根據堪根定理可以說明f(x)在3到4之間有實跟
ps:也可以利用微積分證明有實根
再利用牛頓定理~
根據牛頓定理可以得知如果f(x)有ax-b這個一次因式(b/a這個有理根)
則a必為平方項係數1的因數,b必為常數項1的因數
所以所有可能的有理根只有1或-1
但是將1和-1代入發現皆不是根~所以可之實根必為無理根~
所以2+√3為無理數

2006-11-07 17:49:39 補充：
我知道可以用反證法證(謝謝下面的提供反證法)~我只是提供一個不一樣的想法~畢竟我們大部分看到的都是證如√3這種問題~用反證法當然就很快速了~還有~無理數加有理數確實等於無理數~但是無理數加無理數不一定是無理數~這句話是有問題的~如(1+√3)是無理數(1-√3)也是無理數~但是兩數相加是2卻是有理數~所以這句話比較不恰當~

2006-11-07 17:58:47 補充：
還有樓下的朋友~你的第四點(移項後得 3 × b^2 = a^2 (3倍b平方=a平方，表示a與b有共同因數))似乎寫的太快了~不是很完善~應該說3 × b^2 = a^2,所以3整除a^2所以3整除a(這句話理論上也要證明)另a=3k,k屬於整數,代回上式3 × b^2 =(3k)^2可知b^2=3*k^2所以3可以整除b^2,所以3整除b所以a和b為3的倍數,但是一開始假設a,b互質~所以矛盾

2006-11-07 18:18:17 補充：
還有√3+√5為無理數這個題目因為不能說無理數加無理數=無理數所以提供下列證明設√3+√5=k為有理數則√5=k-√3平方得5=k^2-2k√3+3所以2k√3=k^2-2得√3=(k^2-2)/(2k)(有理數的運算還是有理數(封閉性))所以√3為有理數,與上一題矛盾所以√3+√5為無理數

2006-11-08 08:40:54 補充：
我想我應該沒有誤解他們的意思~
我知道有理數四則運算後還是有理數
但是他們並沒有真正說明根號3是無理數的矛盾點在哪阿~題目要你證根號3是無理數~你回答有理數不等於無理數所以矛盾~那這樣不算證明吧~~

2006-11-08 08:43:19 補充：
像克勞棣 你第一封意見~就有清楚說明矛盾點在哪~(互質)所以這樣才可以算是證明~就像我要你證明我是男人~我就說男人不是女人~所以我是男人~這樣很怪~

2006-11-09 22:57:56 補充：
當然如果題目有說已知√3是無理數~那當然peter和＊ B a b y 田〃這樣的證法就當然沒問題~不過如果題目沒有說~當然要證阿~本來證明餘弦定理就要先證畢氏定理和三角形面積公式~所以國中有證明過了~高中就不在證明啦~

Answer 2

到下面的網址看看吧

▶▶http://*****

Answer 3

x=√3+√5 , x^2=8+2√15 , (x^2-8^2)^2=60
令f(x)=x^4-16x^2+4 , 若f(x)=0有有理根 , 則此有理根只可能為 +1 -1 +2 -2 +4 -4
(牛頓定理) , 但 f(x)帶進去皆不等於0 , 而√3+√5為f(x)=0之一根 , 因此得知√3+√5不為有理數

Answer 4

無言　你乾脆做運算之前重新定義一次加法函數好了
還是你想要先寫下1＋1＝2的証明再寫下1＋1＝2

Answer 5

無理數+無理數=無理數...？？
有這個定理嗎？只有有理數+有理數=有理數吧！？
證明√3+√5為無理數，並不是分別證明√3和√5為無理數，再加起來，這證明是無效的。

2006-11-07 19:58:33 補充：
題欲畢其事，可先證√15為無理數。
假設√15為有理數，令其為p/q，p,q為整數，q不為0，(p,q)=1
兩邊平方，15=p^2/q^2
15q^2=p^2→3|p^2→3|p
令p=3r，r為整數，
15q^2=9r^2→5q^2=3r^2→3|q^2→3|q
3是p,q的公因數，矛盾，故√15為無理數

再回到原題
假設√3+√5為有理數，令其為s/t，s,t為整數，t不為0
兩邊平方，8+2√15=s^2/t^2
√15=(s^2-8t^2)/(2t^2)為有理數，矛盾，故√3+√5為無理數

2006-11-07 20:07:22 補充：
浪人應該誤解了peter和＊ B a b y 田〃的證明了。
他們明明是利用有理數加減乘除有理數仍為有理數的性質呀！
何來認定2+√3為無理數之說？他們是認定√3為無理數吧！

2006-11-08 12:00:08 補充：
唉！他們把「√3為無理數」當「已知」事實，然後用它來證明「2+√3為無理數」。
「√3為無理數」可證明，卻不一定要證明，因為這句話確實是對的，況且還有更一般化的敘述「若正整數k不是完全平方數，則√k為無理數」。
要使用一個已有前人證過的定理時，若還需要先證明這個定理，則一切從0開始不就好了。
你證明餘弦定理時，有先證明畢氏定理和三角形面積公式(底*高/2)嗎？
所以即使沒有證明「√3為無理數」，他們的證明還是有效的。一點都不怪，√3確實是無理數。

Answer 6

附和樓上的人說的，您的想法沒錯，可以用反證法去推得
而且有更簡單，不需用到微積分和堪根的方法
只要有國中的數理概念就夠了
定理：只要是有理數就能化成一個分數　a/b , b≠0

１。 2+√3 ，因為２是有理數，所以只探討√3
２。假設√3是有理數，那麼可以化作分數 √3= a/ b , b≠0
(a/b為最簡分數，表示a與b無共同因數)
３。 兩邊平方→ 3 = a^2 / b^2
４。移項後得 3 × b^2 = a^2 (3倍b平方=a平方，表示a與b有共同因數)

2與4矛盾 ，所以證明「√3是有理數」的假設是錯的
進階證明√3為無理數

５。有理數+無理數=無理數，所以2+√3為無理數

2006-11-07 17:08:26 補充：
同理，依照上述方法分別證明√3和√5都是無理數再根據...無理數+無理數=無理數...的定理就可以推得√3+√5為無理數了

2006-11-08 04:36:57 補充：
回樓上的大大們:
哦~ 真是抱歉阿
我是問我數學系的同學的
看來有必要跟他更正
不好意思，提供了有瑕疵的答案@@!

Answer 7

設2+√3＝ｘ
（ｘ屬於有理數）
則√3＝ｘ＋２　→　矛盾
因為√3（無理數）≠ｘ（有理數）＋２（有理數）

這樣你看的懂嗎？

Answer 8

您原來的想法是正確的：√3為無理數.....（1）設2+√3為亦有理數可設2+√3＝a/b (其中a,b為互質的整數)則√3＝a/b -2＝(a-2b)/b 為有理數.....（2）（2）與（1）矛盾∴2+√3為無理數證明一有理數和無理數的和或差為無理數，其方法都可適用