費波那契數列連續合數的證明(10點)

Question

定義遞迴數列fn：f1=f2=1，fn=fn-1+fn-2試證明必存在正整數k，使得fk,fk+1,fk+2,fk+3......fk+103連續104項的每項皆為合數。對於對於費氏數列有興趣的人而言，本題應該不難吧！

Answer 1

這個會需要用到一些公式

引理 1: 對正整數 n, k, 其中 k > 1, 則 F(nk) 是 F(n) 的倍數
引理 2: F((k+1)n) = F(n-1)F(kn) + F(n)F(kn+1)
引理 3. F(m+n) = F(n-1)F(m) + F(n)F(m+1)

引理 3 可以用數學歸納法證出來
引理 2 可由引理 3 得到
引理 1 可由引理 2 用數學歸納法證得

所以我們直接拿引理 1 來用: F(nk) 是 F(n) 的倍數
因為 k > 1 所以 nk > n, F(nk) > F(n)
因此如果 F(nk) 是 F(n) 的倍數, 必定是 2 倍以上
這意謂著只要 F(n) 不是 1, 那麼 F(nk) 一定是合數
也就是說, 只要 F(x) 中的 x 是合數, 那麼 F(x) 也要是合數

這理要考慮到 F(1) = 1, F(2) = 1
所以會造成上述敘述唯一的例外, 就是 F(4) = 3 為質數
其它的合數 x 都會使 F(x) 是合數

如此一來, 只要能證明存在連續 n 個合數, 就能證明存在連續 n 項費氏數列
存在連續 n 個合數是很簡單的, 考慮 (n+1)!+2, (n+1)!+3, ... (n+1)! + (n+1) 恰有 n 個合數, 為所求. 因此 F((n+1)!+2), F((n+1)!+3), ... F((n+1)!+(n+1)) 就是連續 n 個合數, 把 n 代 104 就是原題

2006-11-15 00:41:47 補充：
1. 證明存在, 不一定需要知道 k 是多少
2. 以這題來說, 我所說的 n=104 就是 k=105!+2, 若您不知道此關係式的由來, 建議您再將證明多看幾次.

2006-11-15 14:14:45 補充：
就一般的證明題來說, 原本的部份就已經足夠, 如我所說, 證明 k 存在是不需要知道 k 是多少的, 我不知道你想點的睛是什麼睛.

不過既然你喜歡, 讓你開心點這我還做得到.

Answer 2

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Answer 3

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Answer 4

能夠畫龍點睛一下嗎？
我明明是問k可以是多少，結果你說n=104.......

2006-11-15 11:35:44 補充：
我不是不知道此關係式的由來，我是要你畫龍點睛，回答我所問的，把事情寫完整。
既然你點在意見欄，那也是一樣。