數學題目 分數的問題.

Question

某數n減去它的1/2, 再減去剩下的1/3, 再減去剩下的1/4, 依此類推, 最後減去剩下的1/n, 則最後剩下的數是多少?

n為自然數．．．

Answer 1

嗯～～～這個題目還真新鮮！就用「土法煉鋼法」吧！
(我只是國一生)
這題~~一定要規定n是整數(否則~~n很難算)

如果規定n是不為1的正整數
n-(1÷2)n=(1÷2)n-------第一次減掉(1÷2)n結果→n=2的最後答案=1

(1÷2)n-(1÷3)(1÷2)n=分配律=(1-1÷3)(1÷2)n=(2÷3)(1÷2)n=(1÷3)n------第二次減掉(1÷3)(1÷2)n結果→n=3的最後答案=1

(1÷3)n-(1÷4)(1÷3)n→(2÷3)(1÷2)n-(1÷4)(2÷3)(1÷2)n
分配律=(3÷4)(2÷3)(1÷2)n
約分→(1÷4)→n=4的最後答案=1

就這樣
直到最後.....
一定可化成
=[(n-1)÷n][(n-2)÷(n-1)].......(3÷4)(2÷3)(1÷2)n
=(1÷n)n
=1


如果規定n是不為-1的負整數

正好相反.....
因為(1÷2)n是負整數
(2÷3)(1÷2)n也是負整數
則規定n的正確公式為
一定可化成
=[(│n│-1)÷│n│][(│n│-2)÷(│n│-1)].......(3÷4)(2÷3)(1÷2)n
=(1÷│n│)n
=-1

若n=±1，可能會引起很大的爭議：
因為

正數：
<法一>不加入最未項
1-1÷2-1÷2÷3-1÷2÷3÷4-.........
=.......(3÷4)(2÷3)(1÷2)(1)
≒1(與題目矛盾)
<法二>加入最未項
1-1÷2-1÷2÷3-1÷2÷3÷4-.........-1÷1
=0-1÷2-1÷2÷3-1÷2÷3÷4-.........
=無限大的負整數

負數：
<法一>不加入最未項
(-1)-(-1)÷2-(-1)÷2÷3-(-1)÷2÷3÷4-........
=......(3÷4)(2÷3)(1÷2)(-1)
≒-1(與題目矛盾)
<法二>加入最未項
(-1)-(-1)÷2-(-1)÷2÷3-(-1)÷2÷3÷4-.........?
爭議來了：
到底最未項是「-(-1)÷(-1)」?
還是「-(-1)÷1」?
還是「-1-(-1)」?

若n=0
因為「n的二分之一」=0、「n的三分之一」=0.........所以「n的n分之一」=0

注意！
這犯了很嚴重的錯誤：
因為
錯1：到最後，這個序列，永遠不會有「n分之一」出現(分母2,3,.....不會有0的出現)
錯2：1÷0=無意義


結論：
所以.......這一題的答案.......不完全是1
只有規定n是不為1的正負整數
公式：
=[(│n│-1)÷│n│][(│n│-2)÷(│n│-1)].......(3÷4)(2÷3)(1÷2)n
=(1÷│n│)n
=±1

2006-11-14 21:25:58 補充：
若n為自然數．．． 第一種，若n=2以上的自然數，則可化成=[(n-1)÷n][(n-2)÷(n-1)].......(3÷4)(2÷3)(1÷2)n=(1÷n)n=1第二種：但是...n=1的時候如何成立1-1/2-1/3-.......-1/1？因為「討論最後項」會使最後的結果小於0(1-1/1=0)與題意矛盾而「不討論最未項」最後1-1/2-1/3-1/4-........一直減下去會變成「無限小的負數」與n=1矛盾所以當n=1時，無解n>1時，結果=1

Answer 2

相當於某數*(1/2),之後再乘以(2/3),之後再乘以(3/4),...依此類推
即某數*(1/2)*(2/3)*(3/4)...*((n-1)/n),
化簡後等於某數除以n

Answer 3

n(1-1/2)(1-1/3)......(1-1/n)
=n*1/2*2/3*3/4*........(n-1/n)
=n*(1/n)
=1