高中數學證明題

Question

請觀察
1平方+3平方+5平方+1=12乘3
3平方+5平方+7平方+1=12乘7
請問任意三個連續的正奇數，其平方和加1是否恆為12的倍數
若成立請加以證明，若不成立請說明理由

^
↑是啥= =

喔喔= =我懂了

為啥要這麼設
三個連續的正奇數為2n+1, 2n+3, 2n+5
為啥不設n+1,n+3,n+5
= =我很笨，不懂耶

是因為這樣才會是奇數喔，那我懂了(好不容易= =a)

Answer 1

設三個連續的正奇數為2n+1, 2n+3, 2n+5 ,n為自然數
則
(2n+1)^2+(2n+3)^2+(2n+5)^2+1
=4n^2+4n+1+4n^2+12n+9+4n^2+20n+25+1
=12n^2+36n+36
=12(n^2+3n+3)
一定為12的倍數

Answer 2

也可以這樣：
任意奇數≡±1或±3或±5(mod 12)
也就是1,3,5,-5,-3,-1的不斷循環，
連續三奇數共有(1,3,5)(3,5,-5)(5,-5,-3)(-5,-3,-1)(-3,-1,1)(-1,1,3)六種可能，但是相反數平方後會相等，故只考慮(1,3,5)(3,5,5)(3,1,1)三種情況就好，
1^2+3^2+5^2+1≡36≡0(mod 12)
3^2+5^2+5^2+1≡60≡0(mod 12)
3^2+1^2+1^2+1≡12≡0(mod 12)
得證。

2006-11-04 22:57:40 補充：
不用設定是正奇數，只要是連續奇數都符合。

Answer 3

令三個連續的正奇數為(2k-1),(2k+1),(2k+3) ,其中k為自然數
(2k-1)^2+(2k+1)^2+(2k+3)^2+1
=12*k^2+12*k+12
=12*(k^2+k+1)
所以恆為12的倍數
得證

2006-11-04 22:25:31 補充：
若設三個連續的正奇數為2n+1, 2n+3, 2n+5 ,n為自然數
則三個連續的正奇數最小將會是3