JHMC第二,三屆個人賽的數學問題

Question

希望能給我思考方式,牽扯到的性質等...
第二屆
http://www.99cef.org.tw/jhmc/2004_jhmc_target.pdf
第3,5題...

第三屆
http://www.99cef.org.tw/jhmc/2005individual.pdf
第6,7,8題...

Answer 1

第二屆
<3> 先將兩圓心連起來，設半徑為R，則連心線長為2R
再將兩圓心跟切點連起來，可發現兩正方形，並可做出以連心線為斜邊的直
角三角形，另兩股分別為32-2R和36-2R，利用畢氏定理列方程式並解得R=10
<5> 利用平行線內錯角相等的性質
DM//EN，FN//EM ，DN//BC ，所以 ∠1+ ∠2 + ∠3 = ∠FMC
又 FM//AB，所以∠FMC = ∠B = 60度
NOTE：為何平行，可以從許多地方來說明，如利用正三角形三個角均為60
度，及對應邊成比例...等等。

第三屆
<6>利用弧長的公式以及畢氏定理
先將圓心跟AB線段和AD線段的距離畫出來(設分別交於點G、H)，得到一個
正方形(AGOH)以及兩個直角三角形(GEO和FHO)，利用畢氏定理可得
GE=HF=6，則可知∠GOE=∠FOH=30度 ，則∠FOE=150度，
故 弧EF的圓心角為210度，故弧長= 12 × 2 ×π× (210/360) = 14π

<7> 找規律，多列幾項
f(k)=1 => k=1~3 ，和=3
f(k)=2 => k=4~8 ，和=10
f(k)=3 => k=9~15 ，和=21
f(k)=4 => k=16~24 ，和=36
f(k)=5 => k=25~35 ，和=55
3+10+21+36=70，故還差25，則f(k)=5必有5個，所以 n=29

<8> 本人還沒看出端倪。

2006-11-06 11:26:50 補充：
<8> 底下以A1表S1之邊長，以此類推... A1：4= 3－A1：3 =>A1= 12 / 7 利用相似形，對應邊成比例可知A3=(3/7)A1 A7=(3/7)A3= (9/49)A1，A2= (4/7)A1， A4=(4/7)A2=(16/49)A1，A5= (3/7)A2= (12/49)A1，A6=(4/7)A3= (12/49)A1故A1+...A7= 3A1 => 周長=3A1*4=144/7

Answer 2

第二蟯的題目我還打不開，先說第三屆的：
6.過O作AB、AD的垂線，可輕易由1:√3:2看出它是30°，60°，90°的直角三角形，因而得出EF弧為210°，故弧長為2×12×π×(210/360)=14π

2006-11-02 09:33:51 補充：
7.觀察得出，第k^2項到第[(k+1)^2-1]項為k。
因此，前[(k+1)^-1]項的總合就是Σt(2t+1)=k(k+1)(4k+5)/6。
用k=5代入得到125，比95大。用k=4代入得70。故知前24項總合為70。
(95-70)/5=5，因此得到n=24+5=29。

2006-11-02 09:38:07 補充：
8.設S1的邊長為x，由(4-x):x=4:3，易得x=12/7。
接下來觀察S2、S3所在之直角三角形，為原來ABC的4/7倍與3/7倍。故得到S2與S3之邊長和等於S1之邊長。
同理，S4與S5的邊長和等於S2的邊長，S6與S7的邊長和等於S3之邊長。
易，七個正方形之周長為S1周長之三倍：
4×(12/7)×3=144/7。

2006-11-02 09:47:56 補充：
第二屆開出來了：
3.分別由O1與O2做AB、AD與BC、CD的垂線，再平形矩形做直角三角形。
令半徑為x，可以得到4x^2=(32-2x)^2+(36-2x)^2。
解出x為34(不合)or10。

2006-11-02 10:02:12 補充：
5.由對稱的關係，不難看出∠1=∠3。
加上由相似三角形來觀察，AND、CFM都是正三角形。從而得到FM平形AB，故∠1=∠ANF。
接下來得到∠END=∠ANF(對稱)=∠1=∠3，故EN平形DM，所以∠2=∠EMD。
故∠1+∠2+∠3=2∠3+∠EMD=2∠CMD+∠EMD=∠FMC=60°。
(中間省略了一些過程~)

2006-11-02 12:34:38 補充：
有一題你之前提問過已有解答的，我附了一些意見，請參考~
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1106072709774&r=w#openions