有關直角三角形的問題

Question

各位大大求救歐
大家常見的直角三角形不就是3.4.5 5.12.13 6.8.10 7.24.25 8.15.17 9.40.41嗎?
那問題來了
1:請問為什麼都會有3的倍數出現呢
2:請問為什麼都會有5的倍數出現呢
請試證明

大家不要誤以為是全部都要3或5的倍數
我的意思是3.4.5這幾個數字中就有一個是3的倍數也有ㄧ個5的倍數

Answer 1

(1)若直角三角形的邊長都是正整數的話
則存在正整數m，n，其中m>n
使得直角三角形三邊分別為m^2+n^2，m^2-n^2，2mn
如果m或n為3的倍數時，明顯地三邊長中2mn會是3的倍數
因此討論m和n都不為3的倍數的情形
假設m=3h+a，n=3k+b，h，k為大於或等於0的整數
其中a和b為1或2
所以(a,b)的情形有4種(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)
因此得到a+b=3或a-b=0
又因為m^2-n^2=(m+n)(m-n)=(3h+a+3k+b)(3h+a-3h-b)
=(3h+3k+a+b)(3h+3k+a-b)
=(3h+3k+3)(3h+3k+a-b)=3(h+k+1))(3h+3k+a-b) 為3的倍數
或(3h+3k+a+b)(3h+3k+0)=3(3h+3k+a+b)(h+k)為3的倍數
所以直角三角形三邊中一定會有3的倍數出現
(2)5的倍數作法和3的倍數作法類似
如果m或n為5的倍數時，明顯地三邊長中2mn會是5的倍數
因此討論m和n都不為3的倍數的情形
假設m=5h+a，n=5k+b，h，k為大於或等於0的整數
其中a和b為1或2或3或4
所以(a,b)的情形有(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)
因此得到a^2+b^2為5的倍數或a^2-b^2為5的倍數
所以a^2+b^2=5t或a^2-b^2=5t，t為整數
又因為m^2=(5h+a)^2=25h^2+10h+a^2，n^2=(5k+b)^2=25k^2+10k+b^2
因此m^2+n^2=25h^2+25k^2+10h+10k+a^2+b^2=25h^2+25k^2+10h+10k+5t
=5(5h^2+5k^2+2h+2k+t)為5的倍數
或者m^2-n^2=25h^2-25k^2+10h-10k+a^2-b^2=25h^2-25k^2+10h-10k+5t
=5(5h^2-5k^2+2h-2k+t)為5的倍數
所以直角三角形三邊中一定會有5的倍數出現

2006-10-28 02:30:09 補充：
我竟然為了5點想了那麼久....

2006-10-28 11:45:45 補充：
(2)解答的第3行因此討論m和n都不為3的倍數的情形要改成因此討論m和n都不為5的倍數的情形因為複製第1題的時候忘了修改

2006-11-03 23:49:44 補充：
真不曉得投票的人有在看題目嗎？
1到5都看錯題目了
而我用的方法是大學「整數論」的方法
所以可能有些人看不懂吧
而且這個整數論的課本裡都有這個題目

2006-11-04 23:30:49 補充：
感謝克勞棣大大的指教！！

Answer 2

Gauss幫他老爸算帳時，自己應該也想過吧！不如去德國問他老人家好了，找不到他就去找樂聖Beethoven，他們是年齡相近的同鄉，Beethoven也許知道這顆十七角星現在漂流到何方。

2006-11-04 22:30:20 補充：
sarulovefish：
你確實是所有解答中唯一正確者，但你說這是大學整數論，實在令我頗感意外。
大學整數論不會在可用同餘式簡化算式的情況下而不用同餘式的。
你為什麼不用同餘式呢？

而且你說存在正整數m，n，其中m>n
使得直角三角形三邊分別為m^2+n^2，m^2-n^2，2mn
那你還得先證明這件事情是真的才行，
不如不用這個事實，直接用整數平方的性質來證，。

2006-11-04 22:35:20 補充：
而且你應該考慮的是(a^2,b^2)的可能性，而不是(a,b)的可能性，這樣種類才不會太多。

Answer 3

30度.60度.90度.和45度.45度.90度也是常見的直角三角形，它們的邊長比是1：2：根號3和1：1：根號２．．．．但它們都不是３或５的倍數啊！
所以這應該和３或５的倍數沒關係吧！

Answer 4

其實跟倍數沒關係！
因為直角三角形，有兩條互相垂直對吧？！
而那兩條垂直的，就是用來算面積的！
不過另外１條是斜線．．．


斜線的長度求法．．
是互相兩條垂直的線的平方相加，會等於斜線的平方！
也就是 a 平方 + b 平方 = c 平方
a 和 b 互相垂直！

例如妳第一個配法 3.4.5
就是 3 的平方+ 4 的平方 = 9 + 16 = 25 = c 的平方 = 5 的平方
所以求出 c = 5 ，也就是斜線等於 5 單位長。

而 5.12.13 也是一樣的！
5 的平方 + 12 的平方 = 25 + 144 = 169 = 13 的平方
所以斜線就是 13

6.8.10 則是 6 的平方 + 8 的平方 = 36 + 64 = 100 = 10的平方
所以斜線是 10


依照這個方法，就是比較小的兩個數字，會互相垂直！
而那個比較大的數字，就是斜線！



9.40.41 也一樣！ 9 的平方 + 40 的平方 = 41 的平方
　　　　　　　因為 81 + 1600 = 1681
　　　　　　　1681 不就是 41 的平方嗎 ？！


所以跟倍數是沒關係的！因為那是用公式 ( a 平方 + b 平方 = c 平方 ) 求出來的！

Answer 5

跟3 or 5 的倍數是沒關係的
用公式算出來的就是如此
你所說的 也有好幾個數字不是3跟5的倍數

Answer 6

沒聽過說一定有3或5的倍數吧!!

商高定理→　兩股平方合＝斜邊平方合（a^ + b^ = c^）

我們帶數字進去看看　
假設有一股是１ｃｍ，另一個是２ｃｍ
那斜邊就是↓
1^ + 2^ = c^　→　1 + 4 = c^　→　5 = c^　→　ｃ＝ √5

所以不一定都是"3"或"5"的倍數~ 可能只是你看過的剛好都是3或5的倍數吧!!

2006-10-27 22:39:36 補充：
抱歉修正!!商高定理→　兩股平方合＝斜邊平方（a^ + b^ = c^）

Answer 7

那個不關三和五的倍數吧

數學老師在教這部分的時候

沒有說到這個耶

2006-10-27 22:30:23 補充：
對了　　如果我有說錯或者是我自己還沒教的話＠＠那很抱歉唷　我明天在去問我數學老師好了