拿珠珠問題(數學與邏輯)

Question

碗中有n顆彈珠，甲乙丙三人一起玩遊戲，遊戲規則如下：
甲乙丙暪人依序輪流從碗中拿走1或2顆彈珠(順序及為：甲乙丙甲乙丙甲乙丙)，
拿到最後一顆彈珠的人就是輸家。
(1)果一開始有5顆彈珠(及n=5)，請問乙和丙能否合作迫使假成為輸家？
(2)請求出所有能讓乙丙合作而迫使甲成輸家的n值

我們老師出了這個問題給我們要我們做成報告，我想了半天想不出來怎麼做成報告麻煩各位給點意見。
我們老師要求詳解要連白癡也看的懂的固定方法。
以下是我的一點點心得各位如果可以幫我在想個更完整的方法或是給點意見靈感

1)
可以，
方法有三種
甲拿1顆乙拿2顆丙拿1顆
甲拿1顆乙拿1顆丙拿2顆
甲拿2顆乙拿1顆丙拿1顆
若彈珠有n颗 設 甲乙丙 各拿一次為一輪
n=2~3 當甲拿完剩下1顆則，乙必輸
n=3~4 當甲拿完剩下2顆則，乙或丙其中一者必輸
n=4~5 當甲拿完剩下3顆則，乙+丙拿2顆
n=5~6 當甲拿完剩下4顆則，乙+丙拿3顆
n=6~7 當甲拿完剩下5顆則，乙+丙拿4顆
n=7~8 當甲拿完剩下6顆則，乙+丙無法合作必贏甲
n=8~9 當甲拿完剩下7顆則，乙+丙拿2顆，剩5顆，並等下一輪，視甲拿幾顆從上參考
n=9~10 當甲拿完剩下8顆則，乙+丙拿2~3顆，剩5~6顆，並等下一輪，視甲拿幾顆從上參考
n=10~11當甲拿完剩下9顆則，乙+丙拿3~4顆，剩5~6顆，並等下一輪，視甲拿幾顆從上參考
n=11~12當甲拿完剩下10顆則，乙+丙拿4顆，剩6顆，並等下一輪，視甲拿幾顆從上參考
簡單的說就是乙+丙拿完時，碗內不可留7或8顆，也就是說當甲拿完時碗內若剩下6顆則無法必贏甲，因為甲拿完後剩6顆的話，甲有方法使甲本身必贏，如下表：
　　　　　　　　　 甲　　乙　　丙　　 甲　　乙　　丙
剩餘數(拿的數量)　6(1~2) 5(1) 4(1) 2(2) 1(1) 0(1)　　←丙輸
剩餘數(拿的數量) 6(1~2) 5(1) 4(1) 2(2) 0(2) ←乙輸
剩餘數(拿的數量)　6(1~2) 4(2) 3(1) 2(1) 1(1) 0(1)　　←丙輸
剩餘數(拿的數量)　6(1~2) 4(2) 3(1) 1(2) 0(1) 　　　 ←乙輸
剩餘數(拿的數量) 6(1~2) 4(2) 2(2) 1(1) 0(1) ←乙輸
剩餘數(拿的數量) 6(1~2) 5(1) 3(2) 1(2) 0(1) ←乙輸
剩餘數(拿的數量) 6(1~2) 5(1) 3(2) 2(1) 1(1) 0(1) ←丙輸

(2)
由第一題解得知，當n=2,3,4,7,8以外的任何數都可因為乙丙合作而迫使甲成為輸家

Answer 1

報告可以這樣寫(建議)：
我曾經與我朋友玩過一個遊戲：
規則：
從任一數開始，倒著喊回去，喊到0就輸了。
而一次只能喊5個數字
EX：從28開始
我先喊：27,26,25
換我朋友喊：24,23
再換我喊：22,21,20,19
再換我朋友喊：18,17,16
再換我喊：15,14,13
再換我朋友喊：12
再換我喊：11,10,9,8,7
再換我朋友喊：6,5,4,3
再換我喊：2,1
嘿嘿嘿嘿嘿嘿！又是我贏了！
為什麼呢？

你有沒有發現到，從25以後
朋友喊的個數，和我之後喊的個數加起來有6個(重點！)
而為什麼是「6」呢？
因為........5(喊的個數上限)+1(留給別人喊)=6

許多人一定有疑問：那麼，為什麼一開始要喊到25呢？(重要關鍵)
因為：最後一定要留1給別人喊，別人才會輸
而且，別人喊n個，我就喊(6-n)個
所以(28-1)/6=4.......3
一開始一定要喊3個才會贏

如些，把「我」替換成乙和丙，由甲先
同理證明：(最大上限個數=2)
乙+丙=2+2=4且有三個人喊
所以甲輸的情況：
4+1(留給甲喊)=5
or 4+2=6

為什麼7和8不行呢?

因為7和8一定會喊到第二輪，且不可到第三輪，而甲是主控因素(可以喊1or2)，然而，乙和丙不能不喊，所以一定是乙or丙輸

在7和8後面的那些數字，因為已經到了第二輪以上，乙和丙可以聯合喊2or3or4個數字，最後只喊到1留給甲(甲最多只能喊2個，不能不喊)
所以之後乙和丙就不怕輸了。

這樣解答ok嗎?

Answer 2

45

Answer 3

謝謝大家的幫忙

Answer 4

乙+丙最少拿2顆，最多可拿4顆。
n=1時，甲輸。
n=2時，甲贏。(甲1)
n=3時，甲贏。(甲1；甲2)
n=4時，甲贏。(甲2)
n=5時，甲輸。(甲1，乙+丙3；甲2，乙+丙2)
n=6時，甲輸。(甲1，乙+丙4；甲2，乙+丙3)
n=7時，甲贏。(甲1)
n=8時，甲贏。(甲2)
n=9時，甲輸。(甲1，乙+丙2；甲2，乙+丙2)
n=10時，甲輸。(甲1，乙+丙4；甲2，乙+丙2)
n=11時，甲輸。(甲1，乙+丙3；甲2，乙+丙2)
n=12時，甲輸。(甲1，乙+丙2；甲2，乙+丙3)
n=13時，甲輸。(甲1，乙+丙2；甲2，乙+丙2)
n=14時，甲輸。(甲1，乙+丙2；甲2，乙+丙2)
n=15, 16, 17, ...，甲輸。

(1) 可
n=5時，甲輸。(甲1，乙+丙3；甲2，乙+丙2)

(2) n=2, 3, 4, 7, 8以外的正整數時，甲都會輸。

2006-10-24 14:29:25 補充：
n=9以後就不用詳細討論到最後結果，可用前面的推論預知結果。例如：n=9時，甲輸。(甲1，乙+丙2；甲2，乙+丙2)推理如下：(i)若甲拿1顆則乙+丙拿2顆，剩6顆，換甲拿，由前面的推論知，n=6時甲輸，故甲會輸。(ii)若甲拿2顆則乙+丙拿2顆，剩5顆，換甲拿，由前面的推論知，n=5時甲輸，故甲會輸。由(i)(ii)知，n=9時甲輸。