數學相似形問題一題 20點

Question

已知平行四邊形ABCD,取其四邊中點EFGH連成四邊形,再取四邊形EFGH的四邊中點連成四邊形PQRS,試問下列何者正確?
(A)四邊形ABCD與四邊形EFGH相似 (B)四邊形ABCD與四邊形PQRS相似
(C)四邊形EFGH與四邊形PQRS相似 (D)三者皆相似

答案是(B) 我想知道為什麼會相似 該如何證明呢
那為什麼EFGH不跟其他兩個相似呢
拜託嚕

Answer 1

請先將圖在紙上劃出來
依序順時針標出符號由大到小為ABCD EFGH IJKL四個四邊形
則每一個四邊形的對角線為AC,BD EG,FH IK,JL

先看第二個四邊形EFGH
就相似形與三角形的中點連線關係
我們可以知道
EH=GF=(BD)/2
同理可得EF=HG=(AC)/2
就角度而言
角AEH=角B之半
角BEF=角A之半
故角HEF=90度
所以EFGH四邊形為矩形 即為所求

再看第三個四邊形IJKL
相同方式我們可得
IJ=LK=(HF)/2
IL=JK=(EG)/2
又我們由圖形得知EG=AD=BC
HF=AB=DC
所以上式可改為
IJ=LK=(HF)/2=(AB)/2
IL=JK=(EG)/2=(AD)/2
故因相似形可得知(SSS相似)
所以ABCD與IJKL四邊形相似 即為所求

*你也可以加上角度關係 會更好
作法:
對角線均連上 中間的統一焦點為O
利用三角形OAB與三角形OIJ來判斷
因為I,J為OA,OB的中點
所以IJ平行AB
故角OIJ=角OAB 角OJI=角OBA
所以三角形OAB與三角形OIJ相似(AA相似)

附註:
如果圖形化的跟我敘述的有誤差
告訴我 我mail給你
會比較清楚唷
希望有讓你更了解...

Answer 2

以菱形ABCD為例,取其四邊中點EFGH連成四邊形為矩形,
再取四邊形EFGH的四邊中點連成四邊形PQRS又為菱形