微積分積分

Question

假設平常微分　x²　微分後　2x 　 (次方減1)
積分的話　　　x²　積分後　x³/2　(次方加1除次方)
多項式微分　　(x²+1)²　微分後　2(x²+1)˙2x　(先微外面再微裡面)
多項式積分　　(x²+1)²　積分後!?怎麼積!?一樣是(次方+1除次方嗎)
那意思是　(x²+1)³/3嗎!?　那裡面那項怎麼辦!?跟微分一樣把裡面積分除出去嗎?
可是我不會積耶~~多項式微分就像撥橘子一樣....先微上再微下，先微外再微內
那積分呢!?因為我看了課本看到一題∫(下0上2)　x√(x²+1)dx=?
很好奇....因為我對積分很陌生....老師又說微分後就用反方向角度把他轉回去就是積分。
但是一看到多項式的微分我會....積分就不會了

我是初學者!!!!麻煩詳細一點唷~~

Answer 1

首先呢，就是要記得公式 ：∫ x^n dx = x^(n+1) / (n+1)

換句話說，他也可以寫成：∫ u^n du = u^(n+1) / (n+1)

兩者沒什麼不同，就是變數 x 的名字換成了 u 而已，積分公式沒變

∫ x √(x^2+1) dx 這個題目，說實在的，沒有積分公式可用

因為多項式的積分公式只有一個，就是 ∫ x^n dx = x^(n+1) / (n+1)

所以我們只能設法，設法讓題目變成單純的多項式的「樣子」

於是，令 u = x^2 + 1 來救救

不過這樣還不行，因為公式上面寫的是 ∫ u^n du = u^(n+1) / (n+1)

不同在於換成變數 u 後，dx 的地方也要換成 du 才行

再從 u = x^2 + 1 下手，兩邊對 x 微分可得 du / dx = 2x

移項一下可得 du = 2x dx

改一下題目： ( 1 / 2 )∫ √(x^2+1) 2x dx

發現　 √(x^2+1) = √u = u^(1/2) 　，　2x dx = du　恰好出現

可得　( 1 / 2 )∫ √(x^2+1) 2x dx = ( 1 / 2 )∫ u^(1/2) du

代入積分公式　∫ u^n du = u^(n+1) / (n+1)

得　( 1 / 3 ) u^( 3 / 2 )　←　換回來　→　( 1 / 3 ) （x^2+1）^( 3 / 2 )

再代入積分上下限，可得答案為 ( 1 / 3 ) [ √5 - 1 ]

2006-10-19 16:43:51 補充：
感謝網友來信告知，我答案有誤，感謝 ^^答案應改為　( 1 / 3 ) [ 5^(3/2) - 1 ]

Answer 2

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Answer 3

同學.......~"~



x²　積分後應該是　x³/3 阿= ="


加油加油@@"