》》方程式解的個數，請幫忙

Question

方程組:《x+y=2，xy-z2=1》有幾組實數解？請說明理由, 謝謝,,,

to天猊：
《y = 1 ± √(-z^2)，故 z 必要是 0》這句能否說明？

Answer 1

把 z 當常數解 x,y 去看即可.顯然 x,y 皆不為 0, 令 x = (1+z^2)/y 代入 x+y=2, 得 y^2 - 2y + (1+z^2) = 0y = 1 ± √(-z^2)故 z 必要是 0, 此時 y = 1, x = 1(x,y,z) = (1,1,0) 是唯一實數解.

2006-10-20 15:47:32 補充：
因為題目要的是 y 是實數
若 z 非 0 則 y 必是複數

2006-10-20 18:45:13 補充：
第四行有誤
因為 tan(A+B) 不一定是實數

Answer 2

我用別的方式來解: 令tanA=x ,tanB=y ,tanC=z
則tanA+tanB=2
tanAtanB-(tanC)^2=1
tan(A+B)=tanA+tanB/1-tanAtanB=2/-(tanC)^2 ((tanC)^2)tan(A+B)=-2 因為(tanC)^2必須大於0,所以tan(A+B)小於0 由此得知,z不可為0, (tanC)=(-2/tan(A+B))^(0.5)
tanA+tanB=2 tanA=2-tanB 代入 (2-tanB)(tanB)-(tanC)^2=1
2tanB-(tanB)^2-(tanC)^2=1 (tanC)^2=(tanB-1)^2
tanC=tanB-1 或 tanB-1 tanC-tanB=1 or tanB-tanC=1 tanA+tanB=2 tanC+tanA=3 或 tanA+tanC=1 如此可見, x,y,z 要有解的條件:1.z 不可為0, xy小於1.
2.實數解,若z=0,或 xy大於1,無解.

2006-10-20 15:59:05 補充：
to 天狔:用我的解法.很明顯的就會出現這樣的情況,問題在哪?你找的出來嗎?

2006-10-20 17:07:03 補充：
但我的解法,為何和你的答案不同?我用三角學去弄,tanA本身也是一個實數.什麼會和你導出來的結果不同?

2006-10-20 19:14:19 補充：
我再補充第二種作法:X+Y=2 XY-Z^2=1XY=1+Z^2(X-Y)^2=(X+Y)^2-4XY=2^2-4(1+Z^2)=4Z^2X-Y=2Z,or X-Y=-2Z2X=2+2Z or 2X=2-2ZX=1+Z orX=1-ZY=1-Z or Y=Z+1XY-Z^2=1因為X,Y互為共軛,故只要其中一種代入即可,(1-Z)(1+Z)-Z^2=11-Z^2-Z^2=1Z=0,X=1,Y=1.

2006-10-20 19:16:19 補充：
喔!原來如此!

2006-10-20 19:39:50 補充：
照第二個做法,就可以解決一切,不用照天狔的方式去說Z一定要等於0,而是Z本身就是只有0的解.所以答案就是(1,1,0)

Answer 3

http://img138.imageshack.us/img138/3999/1cy1.jpg

參考看看

Answer 4

x,y,z是實數
解：以y=2-x代入xy-z^2=1
得x(2-x)-z^2=1
化簡移項→ -x^2+2x-1=z^2
乘法公式→ -(x-1)^2=z^2
因為x,y,z是實數
所以z^2≧０......第一式
(x-1)^2≧０，-(x-1)^2≦０.......第二式
第一式∩(交集)第二式→z^2=0且 -(x-1)^2=0
解集x=1,z=0代回原式
得y=1
理由:(因為x=1,y=1為xy=1的極大值及x+y=2的極小值)
Ans:一組實數解
解集為:
x=1
y=1
z=0