{工數}參數變數變換的求法

Question

y''-(4/x)y'+(4/x2)y=x2+1只需求y1.y2....也就是w(y1.y2)的y1.y2....因為我不知怎麼求...謝謝

請將整題的解法寫出~~~~謝謝^^

Answer 1

需要幫算這題嗎？

2006-10-20 23:04:12 補充：
Problem：Solve following Cauchy - Euler equation　　　　 y'' - ( 4／x ) y' + ( 4／x2 ) y = x2 + 1sol：　　令 y = xm　　→ y' = m xm - 1　　　 y'' = m( m - 1 ) xm - 2　　y'' - ( 4／x ) y' + ( 4／x2 ) y = 0　　→ m( m - 1 ) xm - 2 - 4m xm - 2 + 4xm - 2 = 0　　→ m( m - 1 ) - 4m + 4 = 0　　→ m2 - 5m + 4 = 0 ～ 特徵方程式 ( characteristic equation )　　→ ( m - 1 )( m - 4 ) = 0　　→ m = 1 , 4 ～ 相異實根　　→ yh = c1x + c2x4 ～ 齊次解 ( homogenous solution )　　利用參數變異法 ( method of variation parameters ) 求特解 yp。　　令 Q(x) = x2 + 1　　　 yp = u1y1 + u2y2　　　　  = u1x + u2x4 註　　W( y1 , y2 ) =│x　  x4│= 4x4 - x4 = 3x4　　　　　　　 │1　4x3│　　u1 =∫( - y2Q／W )dx　　　 =∫[ - x4( x2 + 1 )／3x4 ]dx　　　 =∫- [ ( x2 + 1 )／3 ]dx　　　 = - ( x3／9 ) - ( x／3 )　　u2 =∫( y1Q／W )dx　　　 =∫[ x( x2 + 1 )／3x4 ]dx　　　 = ( 1／3 )∫[ ( 1／x ) + ( 1／x3 ) ]dx　　　 = ( 1／3 )[ ln│x│- ( 1／2x2 ) ]　　yp = u1y1 + u2y2　　　 = - ( x4／9 ) - ( x2／3 ) + ( x4 ln│x│／3 ) - ( x2／6 )　　　 = - ( x4／9 ) - ( x2／2 ) + ( x4 ln│x│／3 )　　→ yp = - ( x4／9 ) - ( x2／2 ) + ( x4 ln│x│／3 ) ～ 特解 ( particular solution )　　通解 ( general solution )：y = yh + yp　　→ y = c1x + c2x4 - ( x4／9 ) - ( x2／2 ) + ( x4 ln│x│／3 ) #*註：　　W( y1 , y2 ) 中的 y1、y2 就是我們算出來的齊次解，利用齊次解再代入原方程式測試特解就是參數變異法，當然中間的測試過程我們都會省略，而直接引用數學界〝先賢先烈〞所導出來的結果。*　　您可令 u1y1 + u2y2 = u1x + u2x4 或 u1y1 + u2y2 = u1x4+ u2x 都可以，答案都一樣，您可自己試試喔！希望以上回答過程能幫助您。

Answer 2

恩~~恩~~

Answer 3

哇~~泰北高中夜間部喲~~這位教職員工,用學校網路資源來放知識解題的答案,是不是有些許不妥!!

Answer 4

請參閱下列網址
http://w3.tpsh.tp.edu.tw/ann/
標題:微分方程參考解