Eular 方程...

Question

solve x2y''-5xy'+8y=2(ln|x|)+x3求yp and y(x) ??過程越詳細越好^^Thanks!!

倒數第5行....
怎麼知道要SET → yp = ( t／4 ) + ( 3／16 ) - e3t
謝謝!!

Answer 1

Problem：Solve Cauchy - Euler equation for x2y'' - 5xy' + 8y = 2 ln│x│+ x3sol：　　令 x = et → t = ln│x│　　則：( dy／dx ) = ( dy／dt )( dt／dx )　　　　　　　 　= ( 1／x )( dy／dt )　　　　( d2y／dx2 ) = ( d／dx )( 1／x )( dy／dt )　　　　　　　　　= ( 1／x2 )( d2y／dt2 ) - ( 1／x2 )( dy／dt )　　將以上代換結果代回原題目得到一新 o.d.e. 如下：　　( d2y／dt2 ) - 6( dy／dt ) + 8y = 2t + e3t　　特徵方程式 ( characteristic equation )：r2 - 6r + 8 = 0　　→ ( r - 2 )( r - 4 ) = 0　　→ r = 2 , 4 ～ 相異實根　　yh = c1e2t + c2e4t　　　 = c1x2 + c2x4 ～ 齊次解 ( homogenous solution )　　利用未定係數法 ( method of undetermined coefficient ) 求特解 yp。　　令 yp = At + B + Ce3t　　→ ( dyp／dt ) = A + 3Ce3t　　　 ( d2yp／dt ) = 9Ce3t　　( d2yp／dt ) - 6( dyp／dt ) + 8yp = 2t + e3t　　→ 8At - 6A + 8B - Ce3t = 2t + e3t　　比較係數得：A = ( 1／4 )　　　　　　　　- 6A + 8B = 0 → B = 3／16　　　　　　　　C = - 1　　→ yp = ( t／4 ) + ( 3／16 ) - e3t　　　　  = ( ln│x│／4 ) + ( 3／16 ) - x3 ～ 特解 ( particular solution )　　通解 ( general solution )：y = yh + yp　　→ y = c1x2 + c2x4 + ( ln│x│／4 ) + ( 3／16 ) - x3 #*　　希望以上回答能幫助您。

2006-10-17 00:25:21 補充：
　　版主請看倒數第 13 行，我設 yp，然後將中間比較得到的係數，再代入我設的 yp，就變成倒數第五行的 yp，就這樣而已喔！