工程數學問題.....40

Question

solve: x2y''-4xy'+4y=x4+x2過程越詳細越好^^Thanks!!

Answer 1

Problem：Solve  x2y'' - 4xy' + 4y = x4 + x2sol：　　令 x = et → t = ln│x│　　則：( dy／dx ) = ( dy／dt )( dt／dx )　　　　　　　 　= ( 1／x )( dy／dt )　　　　( d2y／dx2 ) = ( d／dx )( 1／x )( dy／dt )　　　　　　　　　= ( 1／x2 )( d2y／dt2 ) - ( 1／x2 )( dy／dt )　　將以上代換結果代回原題目得到一新 o.d.e. 如下：　　( d2y／dt2 ) - 5( dy／dt ) + 4y = e4t + e2t　　特徵方程式 ( characteristic equation )：r2 - 5r + 4 = 0　　→ ( r - 1 )( r - 4 ) = 0　　→ r = 1 , 4 ～ 相異實根　　yh = c1et + c2e4t　　　 = c1x + c2x4 ～ 齊次解 ( homogenous solution )　　利用未定係數法 ( method of undetermined coefficient ) 求特解 yp。　　令 yp = Ate4t + Be2t　　→ ( dyp／dt ) = Ae4t + 4Ate4t + 2Be2t　　　 ( d2yp／dt2 ) = 8Ae4t + 16Ate4t + 4Be2t　　( d2yp／dt2 ) - 5( dyp／dt ) + 4yp = e4t + e2t　　→  3Ae4t - 2Be2t = e4t + e2t　　比較係數得：A = ( 1／3 )　　　　　　　　B = - ( 1／2 )　　→ yp = ( te4t／3 ) - ( e2t／2 )　　　　  = ( x4 ln│x│／3 ) - ( x2／2 ) ～ 特解 ( particular solution )　　通解 ( general solution )：y = yh + yp　　→ y = c1x + c2x4 + ( x4 ln│x│／3 ) - ( x2／2 ) #*　　希望以上回答能幫助您。

Answer 2

令x=e^t
t=lnx
d/dx=D
[D(D-1)-4D+4]y=e^4t+e^2t
令y=e^(mt)
m^2-5m+4=0
(m-4)(m-1)=0
yh=c1e^t+c2e^4t
將t改回來x
yh=c1x+c2x^4
[D^2-5D+4]y=e^4t+e^2t
我用heaveside逆運算子算
令yp=[1/(D-1)(D-4)]*(e^4t+e^2t)
yp=[1/(D-1)(D-4)]*(e^4t)+[1/(D-1)(D-4)]*(e^2t)
yp=e^4t*[1/D(D+3)]+e^t[1/(D)(D-3)]*e^t
yp=e^4t*[(1/3D)+(-1/9)+...]+e^t[1/(D-3)]*e^t
yp=e^4t*[(1/3D)+(-1/9)+...]+e^2t[1/(D-2)]
yp=e^4t*[(1/3D)+(-1/9)+...]+e^2t[(-1/2)+(-D/4)+...)]
∵上式的-1/9會跟齊次解衝到
則(-D/4)因為常數微分為零
所以不于理會
yp=(te^4t/3)+(-e^2t/2)
將t改回來x
yp=[(x^4lnx)/3]-(x^2/2)
y=yh+yp=c1x+c2x^4+[(x^4lnx)/3]-(x^2/2)
你如果想學這種方法
你再傳[e-mail]問我