證明題(極限的正式定義)

Question

使用極限的 ε–δ定義證明 lim x² = 4，當 x → 2。
我課本解答說：
You must show that for each ε> 0，there exists a δ> 0 such that∣x² - 4∣< ε whenever 0 < ∣x - 2∣ <δ.
To find an appropriate δ,begin by writing∣x² - 4∣= ∣x + 2∣*∣x - 2∣.For all x in the interval ( 1 , 3) , you know that ∣x + 2∣< 5. So, letting δ be the minimum of ε / 5 and 1, it follows that, whenever 0 <∣x - 2∣<δ, you have ∣x² - 4∣=∣x + 2∣*∣x - 2∣< (ε/ 5)*( 5 ) =ε.
如果函數是一次函數的話，我就看的懂解答，可是因為是 x² ，就看不懂了，請問要怎麼理解呢？

Answer 1

先來回顧一下極限的定義 : lim_(x 趨近於 a) f(x) = L當上面的等號成立時的定義是 :for any e 大於 0, there is d = d(e) 大於 0 such that|f(x)-L| 小於 e whenever 0 小於 |x-a| 小於 d中文可以這麼解釋，任意給我一個誤差 e (for any e 大於 0)，我都可以找到一個測量標準 d (there is d = d(e) 大於 0)，讓目標出來的值與 L 這個數的差控制在允許誤差內 (such that |f(x)-L| 小於 e)，只要我們恆在 (a-d,a+d) - {a} 這個測量標準上去看 (whenever 0 < |x-a| 小於 d)。而當我們要證明，例如 x^2 趨近於 4 當 x 趨近於 2 時，意思就是隨便給誤差 e，我要把這個測量的標準 d (依賴於 e 的值) 找出來，或許剛開始接觸這種證明會沒有什麼想法，但是不管再怎樣矇懂也不要忘了定義，它可以讓你寫出一點東西 :P|x^2 - 4| 小於 e 這是我想要的結果，但是 d 要怎麼找 ?|x^2 - 4| = |x-2||x+2| 小於 d|x+2| 小於等於 e恩，希望可以有上面那樣，但是 |x+2| 有點麻煩，如果 |x+2| 是常數就很好，那不妨先假設我們要找的測量標準 d 可以滿足 |x+2| 小於 1，那就變成|x^2 - 4| = |x-2||x+2| 小於 d|x+2| 小於 d 小於等於 e whenever -5 小於 x-2 小於 -3但是 -5 小於 x-2 小於 -3 這個樣子不好，和定義差很多，如果讓 |x+2| 小於 5 呢 ?|x^2 - 4| = |x-2||x+2| 小於 d|x+2| 小於 5d 小於等於 e whenever -9 小於 x-2 小於 1觀察上面我們發現此時無論誤差 e 是多少只要我們把測量標準 d 取不大於 e/5 就行了，也就是 0 小於 |x-2| 小於 d = e/5，不妨就寫成 -e/5 小於 x-2 小於 e/5。但是這個時候千萬別忘了之前我們為了證明而自行假設出的條件，-9 小於 x-2 小於 1 ; -e/5 小於 x-2 小於 e/5當 0 小於 e/5 小於等於 1 時剛好可以滿足 |x+2| 小於 5，到了這邊我們從整個過程發現證明要出來，也就是任給一個誤差 e，這個抓到的測量標準 d 要同時滿足 d 小於 e/5 和 d 小於等於 1，自然而然的 d = min {e/5,1} 就出來了，此時不論 e 是多少， d = min {e/5,1} 小於等於 1 可以滿足 |x+2| 小於 5，此時不論 e 是多少， d = min {e/5,1} 小於等於 e/5 可以滿足 5d 小於等於 e，所以測量標準我們就找出來囉 ! XD當然證明到這邊也就結束了，但是除非必要，通常證明我們不願寫太多，把上面的過程吸收消化後直接令 d = min {e/5,1}，然後再幾行證明就可以結束了，所以第一次看的人常常會搞不懂，這是因為作者通常不顧讀者死活， XD 不過把證明寫的像首詩或是如同散文，那都純屬品味問題，是否真正的解決了問題才是重要的。