prove the limit does not exist

Question

Let f(x)= 1, if x is rational
f(x)= 0, if x is irrational

prove that lim(x->0)f(x) does not exist

|f(x) - 1| = |0 - 1| = 1 > 1/2 = ε.
中的"|f(x) - 1|"怎麼來?

你是想設lim(x->0)f(x)=1吧?
小弟我覺得這樣還不夠嚴謹..

Answer 1

獻醜一下 , 讓我來解釋 cgkm 大大的證明吧 @@假設 lim(x->0) f(x) 存在 , 可令 lim(x->0) f(x) = L 是一個實數 , 那根據極限的定義呢 , 對於 1/2 > 0 我們可以找到一個 δ > 0 使得|f(x) - L| ＜ 1/2 for all 0 ＜ |x| ＜ δ 但上面那條式子是錯的 , 因為若取 x 是有理數且 0＜|x|＜δ , 則會有 |1-L| ＜ 1/2 成立 , 此時必有 L > 1/2 .若取 x 是無理數且 0＜|x|＜δ , 則會有 |L| ＜ 1/2 成立 , 此時必有 L ＜ 1/2 , 矛盾.因此 lim(x->0) f(x) = L 對所有實數 L 都不可能成立 , 故  lim(x->0) f(x) 不存在 .

Answer 2

其實我也很感謝cgkm大大的提醒..

要不是他..這一題可能沒半個人會證

總之就是謝謝啦~^^

Answer 3

|f(x) - L| ＜ 1/2 for all 0 ＜ |x| ＜ δ 不可能，因為
0＜|x|＜δ rational 則 1-L ≤ |1-L| ＜ 1/2 故 L ＞ 1/2
0＜|x|＜δ irrational 則 L ≤ |L| = |0-L| ＜ 1/2
矛盾