高中數乙的問題---不等式！

Question

Q：
設 三角形 三邊長分別為 7，9，12，
若將每邊都減少 X ，使三角形成為一個鈍角三角形，
試求 X 的範圍。



請達人 幫我解答吧！

感謝～

我這邊的正解是：4－√30 ＜ X ＜4

Answer 1

http://img291.imageshack.us/img291/6381/1dm6.jpg
參考看看

Answer 2

我們知道 一個有關直角三角形的畢氏定理 a^2 = b^2 + c^2
如果是 鈍角三角形，則 a^2 > b^2 + c^2 ( 斜邊長超過 b^2 + c^2 的話，則斜角對應的角必大於 90度 )

現在斜邊長為 12 ，依題意列式
=> ( 12 - x ) ^ 2 > ( 9 - x ) ^ 2 + ( 7 - x )^2
=> 144 - 24x + x^2 > 81 - 18x + x^2 + 49 - 14x + x^2
=> 0 > x^2 - 8x - 14
=> x < 4 => 故 x 長度介於 0 和 4 之間

Answer 3

三角形的關係

銳角三角形 任一兩邊平方合必大於第三邊平方
A^2 + B^2 > C^2
直角三角形 兩股平方合必等於斜邊平方
A^2 + B^2 ＝ C^2
鈍角三角形 兩小邊平方合必小於最大邊平方
A^2 + B^2 < C^2

但三角形最終條件 任兩邊之合必大於第三邊
A + B > C

如題得知 三邊長 7, 9, 12 即為鈍角三角形
不論 X 多少 A^2 + B^2 必定小於 C^2

所以只要符合 A+B > C 即可
( 7 - X ) + ( 9 - X ) > ( 12 - X )
=> X < 4
則 0 小於、等於 X < 4

Answer 4

(ii) 三邊長要符合三角形的不等式

你哪裡符合了...

Answer 5

要形成鈍角三角形的條件(i) 最長邊的平方 > 另外兩邊的平方和(ii) 三邊長要符合三角形的不等式所以，依照條件可以列出兩個不等式(i)   (12-x)2 > (9-x)2 + (7-x)2(ii)   (12-x) > (9-x) + (7-x)你用這兩個不等式找交集，即為標準答案。