有關尤拉線和一些其他線的關係

Question

尤拉線和一些角平分線、拿破崙三角形或是一些線的關係。〈請各位大師幫幫忙吧〉

白目的天天，不要亂答

Answer 1

拿破崙點

在三角形ABC上，令

ΔABF=AB邊之外接正三角形，
ΔBCD=BC邊之外接正三角形，
ΔACE=AC邊之外接正三角形，

G = Δ DBC之重心,
H = Δ ACE之重心,
I = Δ ABF之重心,

則線段AG、BH、CI交於一點N，此點即為第一拿破崙點。

註：拿破崙除了是一位軍事家、政治家，同時也對
幾何學有濃烈之興趣，在成為法國統治者之
前，與大數學家拉格朗治和拉普拉斯有過討
論，後來拉普拉斯成為拿破崙首席工程師。
而拿破崙點事實上是三角形ABC（當每一內角
均小餘120度）內到頂點距離和最小的那個點。



--------------------------------------------------------------------------------


尤拉線

在三角形ABC上，令

H為ΔABF垂心 。

A'為BC中點，
B'為AC中點，
C'為AB中點。

G為ΔA'B'C'之重心。

O為ΔA'B'C'之垂心。

則O、G、H三點共線，且線段OG：線段GH＝1:2，
線段GO稱為尤拉線。

註：九點圓之圓心恰好在尤拉線上，並且他到垂心
與外心的距離相等，九點圓之圓心在尤拉線
上，尤拉給出了部分相關內容，而第一個完整
之證明是龐賽列（Poncelet）在1821年發表 的，
費爾巴哈（K.Feuerbach）重新發現尤拉部分的
結果，還添進了許多出人意料的性質，以致於
許多著作者會把九點圓稱為尤拉圓或費爾巴哈
圓。

Answer 2

在數學史上，尤拉公式可以說是第一個拓樸學上的定理。假如把我們所討論的對象稍為放寬不必限制為多面體，那麼就可以考慮一些由點，線，面所組成的幾何立體－在拓樸學上，通常稱為複體。當然多面體是複體，對於一個複體，我們同樣地以V，E，F，代表該複體中所包含的點、線，面的數目，而考慮　　　　　　　　　　　　　　　　V－E＋F這樣一個數，這個數就叫做該複體的尤拉示性數。如果我們以P表示該複體，那麼P的尤拉示性數就記為x（P），即　　　　　　x（P）＝V－E＋F。所以多面體的尤拉公式告訴我們：凸多面體的尤拉示性數等於2。　　現在我們來看看別的複體，想像把豆腐的中間挖去一塊（如右圖），這個複體的上層，外圍的頂點分別以A，B，C，D表示上層，內?的頂點分別以K，L，M，N表示。他們在下層的投影點分別以再連結 我們就可以來數這個複體P的尤拉示性數了；頂點的數目V共有16個，線段的數目E共有（包括 面的數目F（包括四邊形AKND， 。所以P的尤拉示性數為　　　　　　　　　x（P）＝V－E＋F＝16－32＋16＝0，這樣我們至少知道了，多面體與中空豆腐的複體具有不同的尤拉示性數。一般來說，在拓樸學上有如下的定理：　　　同胚的兩個複體具有相同的尤拉示性數。這定理的意思就是說尤拉示性數是一個拓樸不變量。　　拓樸學是近代才發展出來的數學分支。此分支有兩個基本方向，點集拓樸學和幾何拓樸學