算幾不等式的矛盾!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Question

求
　４　　　　９
＿＿＿＋　＿＿＿ 之ＭＩＮ
sin^2　　　cos^2

ＳＩＮ^2表示 SIN系打 平方
幫我看一下哪裡錯!!
我用科西解:

　２^２　３^２　　
(＿＿＿＋＿＿＿)×(　sin^2+cos^2)　＞＝　(2+3)^2
　sin^2　cos^2
所以答案是25
那我換成用算幾解
　　　　　　　　　　　　＿＿＿＿
　４　　　　９　　　　｜　４×９　　　１２
＿＿＿＋　＿＿＿ >= ２｜　＿＿＿　＝＿＿＿＿
sin^2　　　cos^2　　　／　(sincos)^2　　sincos

當等式成立的時候

　４　　　　９　　　　　　　　　２　　　　　　　３
＿＿＿＝　＿＿＿ ＝＞＞＞＞sin=＿＿＿　　　cos=＿＿＿
sin^2　　　cos^2　　　　　　　　√１３　　　　√１３

帶入剛剛那個式子
　１２
＿＿＿＿＝２６
　sincos
為什麼跟柯西解的答案不一樣？

地球人:
當等式成立的時候，12/(sin*cos)的值並不是4/sin^2+9/cos^2的最小值。

有其它的值，使得算幾不等式的等號不成立，但4/sin^2+9/cos^2的值比等號成立的時候更小。所以算幾不等式無法求得最小值。

這句話怪怪的，講清楚一點好嗎?

那你可以說明為什麼會這樣嗎?

當2cos^2=3sin^2時(柯西的等號成立條件)，解出代回原式，25>10√6，25比10√6大，確實沒錯。
10√6哪裡跑出來的?

Answer 1

概括來說，12/(sincos)是一個變數，當2cos=3sin時，並不會使它的值最小，況且右式的最小值也不能保證左式的最小值。 4/sin^2+9/cos^2≧12/(sincos)這是正確的，但是.... 當2cos=3sin時(算幾的等號成立條件)，解出代回原式，26=26 當2cos^2=3sin^2時(柯西的等號成立條件)，解出代回原式，25>10√6，25比10√6大，確實沒錯。 值得注意的是， 一、顯然10√6<26，但是10√6率領的不等式是>，26卻是=，咦！不是說等號成立時有最小值嗎？ 二、那麼12/(sincos)的最小值是10√6囉？不，它沒有最小值，它可以負無限大，若限定其為正數，則最小值是24 三、所以4/sin^2+9/cos^2的最小值是24嗎？也不對。 就好像sinx≧-7，這是完全正確的，但是sinx的最小值是-1，不是-7，右式的極值不能保證左式的極值。 四、結論是不論柯西或算幾，不等號兩邊不能都是變數，不然兩邊的極值都算不出來，即使不等式是正確的。 五、當2cos=3sin時(算幾的等號成立條件)，[4/sin^2+9/cos^2-12/(sincos)]有最小值0，唯一能保證的是[4/sin^2+9/cos^2-12/(sincos)]的最小值是0。當a=b時，[(a+b)/2-√(ab)]有最小值0。(不可能比0更小了) 柯西也一樣，當ad=bc時，[(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2]有最小值0。(不可能比0更小了) 除此之外，什麼極值都不一定能算，包括(a^2+b^2)(c^2+d^2)和(ac+bd)^2和(a+b)/2和√(ab)，四者的極值都算不出來，除非減號至少一邊是常數。

2006-10-11 14:00:52 補充：
一言以蔽之，[(a+b)/2-√(ab)]產生最小值時，(a+b)/2不一定是最小值，√(ab)也不一定是最小值。a=b是讓[(a+b)/2-√(ab)]產生最小值，而不是讓(a+b)/2或√(ab)產生最小值。柯西也是類似的，柯西並無比算幾強，但是本題用柯西是對的。

2006-10-11 14:12:51 補充：
因為當2cos^2=3sin^2時，根據柯西，[所求*1-25]有最小值0，此時所求*1不一定是最小值，25也不一定是最小值(注意，我說不一定，我沒說不是，實際上函數f(x)=25的最大值和最小值當然都是25)。所以所求的最小值就是25。了解？

Answer 2

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Answer 3

地球人的說法怪怪的……如果成立的話，那個不等式不就「只能」用來算常數了？

2006-10-09 14:26:29 補充：
我查了一下，地球人所說的是對的。要用算平大於等於幾平來算極值時必須要注意的是：

1.函數的相關項，必須都是正數。
2.含變數的各項和（相加）或積（相乘）必須是常數。

所以這題雖符合第一項，但不符合第二項，所以不能用算平大於等於幾平來算。

2006-10-09 14:43:22 補充：
還有第3點：

3.含變數的各項，必須有相等的可能性。

Answer 4

不清楚到底錯在哪...不過你分析一下...就知道發生極值時...科西和算機...sin和cos值...是不一樣的!

2006-10-05 22:56:24 補充：
不好意思...補充一下...不過答案絕對是25

Answer 5

柯西不等式比較準,由於算幾不等式有些微積分ㄉ應用,故會因而有些許ㄉ差異,不過,用於算面積與距離會比較準～～～！！！