二十點)連鎖律的證明看不懂

Question

http://home.pchome.com.tw/personal/calculus_4u/Chain_Rule.gif
之前問過人，人家給我以上的網址，可是看了好久有看沒有懂。

能不能請能人異士幫我改寫成我看的懂的樣子。
請證明 d/dx f(g(x)) = f'(g(x))*g'(x)

我自已想試證，寫的如下。
d/dx f(g(x))= lim △x->0 [f(g(x)+△x) - f(g(x)]/ △x = ??? 寫到這就不會寫了，以上這句有寫錯嗎? 能不能幫我接下去證明?

http://myweb.hinet.net/home3/yunlung/index.htm
找到證明了，這個網站有可以下載的地方。寫的非常好。點進去後下載 "合成函數的微分法─鏈鎖律(Chain Rule)"
是影片教學，寫的淺顯易懂。

可是進一步的問題又來了，請能寫雙變數函數的連鎖律的理論證明給我呢?

(1)
z = f(x, y) x = g(t) y = h(t)
dz /dt = δz/δx * dx/dt + δz/δy* dy/dt
(2)
z = f(x, y) x= g(s,t) y= h(s,t)
δz/δs = δz/δx * δx/δs + δz/δy * δy/δs
以上二種我都 "會(背) "，可是我想要像上面那個網站一樣的數學公式以證明。才能幫助我理解。

Answer 1

(1)雙變數函數的連鎖率的証明稍為棘手了些，但在 ∂f/∂x 及 ∂f/∂y 連續的前提之下，我們可以利用均值定理（四次）：存在 ξx 介於 t, t+Δt 之間 使得 g(t+Δt) = g(t) + g'(ξx)Δt 存在 ψx 介於 g(t), g(t) + g'(ξx)Δt 之間 使得 f(g(t+Δt),h(t+Δt)) = f(g(t) + g'(ξx)Δt),h(t+Δt))= f(g(t),h(t+Δt)) + ∂f/∂x(ψx,h(t+Δt)) g'(ξx)Δt存在 ξy 介於 t, t+Δt 之間 使得 h(t+Δt) = h(t) + h'(ξy)Δt
存在 ψy 介於 h(t), h(t) + h'(ξ)Δt 之間 使得
f(g(t),h(t+Δt)) = f(g(t),h(t) + h'(ξy)Δt)
= f(g(t),h(t)) + ∂f/∂y(g(t),ψy) h'(ξy)Δt故
"Δz/Δt" = [f(g(t+Δt),h(t+Δt)) - f(g(t),h(t))]/Δt     = [f(g(t+Δt),h(t+Δt)) - f(g(t),h(t+Δt))]/Δt + [f(g(t),h(t+Δt)) - f(g(t),h(t))]/Δt= [∂f/∂x(ψx,h(t+Δt)) g'(ξx)Δt]/Δt + [∂f/∂y(g(t),ψy) h'(ξy)Δt]/Δt = ∂f/∂x(ψx,h(t+Δt)) g'(ξ)x + ∂f/∂y(g(t),ψy) h'(ξy)。 

當 Δt → 0 時，ξx → t, ξy → tψx → g(t), ψy → h(t)h(t+Δt) → h(t)∂f/∂x(ψx,h(t+Δt)) g'(ξx) → ∂f/∂x(g(t),h(t)) g'(t)∂f/∂y(g(t),ψy) h'(ξy) → ∂f/∂y(g(t),h(t)) h'(t) 故"dz/dt" = d/dt [f(g(t),h(t))] = limΔt→0 [f(g(t+Δt),h(t+Δt)) - f(g(t),h(t))]/Δt = limΔt→0 [∂f/∂x(ψx,h(t+Δt)) g'(ξx) + ∂f/∂y(g(t),ψy) h'(ξy)。]= ∂f/∂x(g(t),h(t)) g'(t) + ∂f/∂y(g(t),h(t)) h'(t)= "dz/dx ∂x/∂t + dz/dy ∂y/∂t"。故得證。(2) 若視 t 為一固定的常數，則由 (1) 可推"∂z/∂s = ∂z/∂x ∂x/∂s + ∂z/∂y ∂y/∂s"。"∂z/∂t" 亦是如此。

Answer 2

哇~那網站有夠讚!
你原本的問題跟我一樣
就是"d/dx f(g(x))= lim △x->0 [f(g(x)+△x) - f(g(x)]/ △x = ??? "
謝謝您啦!

2007-10-28 22:25:17 補充：
想問您..
那麼隱函數的微分如何證?