在1×n棋盤的每個小方格中，任意放入一個紅色的 棋子或一個黑

Question

在1×n棋盤的每個小方格中，任意放入一個紅色的 棋子或一個黑色的棋子，規定每個小方格都不可以空著。我們發現無論怎麼放一定有三個同色的棋子，而在中間的棋子與另兩個同色棋子的距離相等。請問n的最小值是多少？(請附上詳解)

Answer 1

這是「2005年青少年數學國際城市邀請賽」參賽代表遴選初選個人數學競賽試題,以前做過我的想法:反過來想,要讓他不發生這樣的情形最多可以擺幾顆要讓３個等距同色棋子不發生，至少要做到不能有連續３個同色棋子。也就是你只能有３種基本圖型去排列組合。以２黑１白為例(２白１黑相同) Ａ型●●○Ｂ型●○●Ｃ型○●●每組3個,至少可以擺上9個,也就是說n可能至少要99以內用上面的組合+任選部份組合(也就是說,不一定要3的倍數)去排,都不會發生而在中間的棋子與另兩個同色棋子的距離相等的情形。9以上用上面的組合+任選部份組合(也就是說,不一定要3的倍數),都能找到反例所以先以9個情形來看觀察發現:這3個組合有些基本限制1.不能有AAA,BBB,CCC(相同位置)2.B和C不能接A(會出現連3黑)3.C不能接B(會出現連3黑)所以我們可以排的可能只有AAB●●○●●○●○●(1,4,7)AAC●●○●●○○●●(1,5,9)ABB●●○●○●●○●(1,4,7)ABC●●○●○●○●●(2,4,6)BBC●○●●○●○●●(3,6,9)BCC●○●○●●○●●(1,5,9)而以上所有的組合,都會找到3個等距的等色棋子所以n=9也就是說,如果排9個以上,一定會發生在中間的棋子與另兩個同色棋子的距離相等的情形.∴9是最小值其他作法參考http://www.mathland.idv.tw/talkover/memo.asp?srcid=18218&bname=ASPhttp://www.mathland.idv.tw/talkover/memo.asp?srcid=12983&bname=ASP