倍數與餘數的數學問題

Question

一自然數n以3除之餘2，以5除之餘3，以7除之餘4，
(1)n最小為何？
(2) 若400小於等於n小於等於1000，問此種n有幾個？
需要完整的解法與解釋 謝謝^^

恩..大概都懂..不過這句話是不是有點問題? 這句話不太懂..
→
要介在400和1000的數量,先把1000減掉53得942,因為要加上58,再算之間的個數
Q1. 1000-53應該是947吧
Q2. 因為要加上58再算之間的個數 ? 是什麼意思

那補充下題..
一自然數n以3除之餘1，以4除之餘2，以5除之餘4，則n的最小值為何?

二樓的大大..
為什麼..↓n=15D+8 的 8 是怎麼來的呀??
2.由 n＝3A＋2＝5B＋3，可得n＝15D＋8

Answer 1

解：
1.一自然數 n以3除之餘2，以5除之餘3，以7除之餘4，
假設為 n＝3A＋2＝5B＋3＝7C＋4，其中A，B，C為商數，且為正整數或0
2.由 n＝3A＋2＝5B＋3，可得n＝15D＋8，其中D為商數，[3，5]＝15
3.再由 n＝15D＋8＝7C＋4，可得n＝105E＋53，其中D為商數，[15，7]＝105
所以：
(1)由 n＝105E＋53，知道 n最小為53。(此時E＝0)
(2)將 n＝105E＋53代入400<＝ n <＝1000，得400<＝105E＋53<＝1000
同減 53後，再同除 105，
得知3.3…<＝E <＝9…..，所以取E＝4，5，6，7，8，9
當E＝4，代入n＝105E＋53＝473
當E＝5，代入n＝105E＋53＝578
當E＝6，代入n＝105E＋53＝683
當E＝7，代入n＝105E＋53＝788
當E＝8，代入n＝105E＋53＝893
當E＝9，代入n＝105E＋53＝998
因此 n有6個

2006-10-02 15:24:13 補充：
n＝3A＋2＝5B＋3中，可得n＝15D＋8，其中D為商數，[3，5]＝158的由來如下：若 n＝15D＋k，k為餘數，故k＝0，1，2，….，14中的一個數又因為n＝5B＋3＝3，8，13…..(B＝0，1，2代入，比14小就可以了)且3，8，13三數中只有8同時滿足n＝3A＋2，故取k＝8

2006-10-02 15:31:00 補充：
一自然數n以3除之餘1，以4除之餘2，以5除之餘4，則n的最小值為何?解法相同，如下：設n＝3A＋1＝4B＋2＝5C＋4，A，B，C為其商數由n＝3A＋1＝4B＋2，可得n＝12k－2再由n＝12k－2＝5C＋4，可得n＝60k＋34得到n的最小值為34

Answer 2

若一自然數n以3除之餘a，以5除之餘b，以7除之餘c，則n的其中一解為(-35a+21b+15c)，
n=-35*2+21*3+15*4=53

Answer 3

用數學九章的算法,先看三,三要餘二,把去掉三的兩個相乘得35,35除以三餘二,所以就不用再擴大
再看五,五要餘三,把去掉五的兩個相乘,得21,21除五餘1,因為要餘3,所以21*3等於63,除五餘三
最後看七,七要餘四,把去掉七的兩個相乘得15,15除七餘一,因為要於四,所以15*4等於60,除七於四
最後把35(因為是五和七的公倍數不影響到三的餘數)+63(因為是三和七的公倍數不影響到五的餘數)+60(因為是三和五的公倍數不影響到七的餘數)=158
因為要是最小的,所以要檢查158可不可以減掉3.5.7的最小公倍數的倍數
所以158-3*5*7=158-105=53
答案為53

這題的公式為53+{3.5.7}n
要介在400和1000的數量,先把1000減掉53得942,因為要加上58,再算之間的個數
947-347=600 , 600/105=5 , 5+1=6
口訣: 大減小 除以間隔數 加一
答案是6個 分別是473.578.683.788.893.998