三重根號化簡的問題..

Question

今天老師在課堂上有解說
可是我還是聽不太懂
可以用以下的例子幫我詳細解說一遍嗎
感謝
√(8+2√(10+2√5))+√(8-2√(10+2√5))
(希望看的懂..)

Answer 1

設 A＝√(8+2√(10+2√5))
B＝√(8-2√(10+2√5))
則√(8+2√(10+2√5))+√(8-2√(10+2√5)) ＝A+B＞0
A^2 ＝8+2√(10+2√5)
B^2 ＝8-2√(10+2√5)
AB＝√〔(8+2√(10+2√5))‧(8-2√(10+2√5)) 〕
＝√〔64 - 4(10+2√5) 〕
＝√〔24 - 8√5 〕
＝√〔(√20 - √4 )^2〕
＝(√20 - √4 )
＝2√5 - 2
(A+B)^2
= A^2+2AB+B^2
= 4√5 +12
= 12+2√20
=(√2+√10)^2
A+B = √2 + √10
即√(8+2√(10+2√5))+√(8-2√(10+2√5))
＝√2 + √10

這一題的主要的為觀察出根號內各數的關係
用A，B代表計算看起來較清楚，不用也可以

Answer 2

先平方得
8+2√(10+2√5) + 8-2√(10+2√5) + 2√【(8+2√(10+2√5))(8-2√(10+2√5))】
=16 + 2√【8平方- 2√(10+2√5)平方 】
=16 + 2√64-(40+8√5)
=16 + 2√(24-8√5)
=16 + 2√(24-2√80)
=16 + 2√ (√20-2)的平方
=16 + 2*(2√5-2)
=16 + 4√5-4
=12 + 4√5
開根號得
√10+√2