請教一題數學問題,求n...

Question

n+9、16n+9、27n+9皆為完全平方數，
n：自然數，
求n=？
謝謝...
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Answer 1

令n+9 = a^2、16n+9 = b^2、27n+9 = c^2
想辦法消掉n
→(4a)^2 = 16*a^2 = 16n+144
→(4a)^2 - b^2 = 135
→(4a-b)(4a+b)
= 135
= 1*135 = 3*45 = 5*27 = 9*15
所對應的( a,b )值分別為
( 17,67 )，( 6,21 )，( 4,11 )，( 3,3 )
4組分別對應的n值為
280，27，7，0(不合)
以n = 280，27，7代入27n+9
分別為：7569，738，198
只有7569是完全平方數(87^2)
所以，n = 280