關於伯努利大數法則..

Question

關於Bernoulli大數法則
若原題目說 Y是n次伯努利試行中成功的次數 亦即Y~ b(n,p)

若根據謝比雪夫不等式 當k表任意微小數 且k>0時
請問P( |Y/n| - p < k) 會 >或 = 多少??

因為我認為母體應該是二項分配
所以E(Y)= np Var(Y)=np(1-p)
因此E(Y/n)= np Var(Y/n)=p(1-p)

若如此 則 依據謝氏不等式去推導..
P( |Y/n| - p < k) 應該是 大於等於 1- {p(1-p) / k^2}
但答案卻是
大於等於 1- {p(1-p) / n*k^2 }
為什麼分母的地方會多那個"n"呢??
我推過 除非母體是點二項分配 亦即 伯努利分配 才會是如此

我的推法有錯嗎??
Y/n 不是可視為 Y之平均數...
所以 E(Y之平均數) = 原母體平均數 = np
Var(Y之平均數) = 原母體變異數 / n = np(1-P) / n = p(1-p)

請問 是我哪裡推錯或觀念錯了 還是答案錯了

有人可以幫我解答或推一變給我看嗎
辛苦了 希望可以詳細點 謝謝大家

Answer 1

除了 P(|Y/n| - p < k) 應該是 P(|Y/n - p| < k) 之外，還有：


因為我認為母體應該是二項分配

所以E(Y)= np Var(Y)=np(1-p)

因此E(Y/n)= np Var(Y/n)=p(1-p)/n

應該是

E(Y/n) = pVar(Y/n) = p(1-p)


證明如下：



定理： E(aY) = aE(Y)

證明： E(aY) = ∑y (ay)P(Y=y)

= a∑y yP(Y=y) = aE(Y)  ∎



故

E(Y/n) = (1/n)E(Y) = (1/n)np = p



定理： Var(aY) = a2 Var(Y)

證明： Var(aY) = E[(aY - E(aY))2] （定義）

= E[(aY - aE(Y))2]

= E[a2(Y-E(Y))2]

= a2 E[(Y-E(Y))2]

= a2 Var(Y)   ∎



故

Var(Y/n) = (1/n)2Var(Y) = (1/n)2np(1-p) = p(1-p)/n



所以

P(|Y/n - E(Y/n)| < k) = P(|Y/n - p| < k)
≥ 1 - Var(Y/n)/k2
= 1 - p(1-p)/(nk2)