證明無理數加無理數

Question

請證明根號3加根號2=無理數
請用高一教的方法
設反例根號3加根號2=有理數=a/b這樣的方法證明
肛溫啦!

Answer 1

令x=√3+√2則x^4-10x^2+1=0根據係數，其有理根可能為1,-1，但二者皆不合，x^4-10x^2+1=0無有理根，故x為無理數。這個證法高一應該看得懂吧。PS不要亂用等號數學上沒有“=有理數＂這樣的表達方式。

2006-09-23 22:43:11 補充：
若x=√m+√n則x^4-2(m+n)x^2+(m-n)^2=0

2006-09-24 16:52:50 補充：
一、即使是√2，也可以用這個方法證明。
二、
令x=√3+√2

則x^4-10x^2+1=0
其中x的解為
√3+√2
√3-√2
-√3+√2
-√3-√2
所以可以假裝試過所有可能的有理根，直接說這些都不合。

2006-09-24 16:53:57 補充：
過一陣子你就懂了，那時再回來看，會發現這樣作更快，更直接。

Answer 2

抱歉打錯嚕
不是摯愛~珍
是克勞棣
抱歉!

Answer 3

假設√6為有理數，
令√6=a/b，a,b為整數，(a,b)=1，b≠0
則6=a^2/b^2，6b^2=a^2，
故6|a^2→2|a^2→2|a，6|a^2→3|a^2→3|a
令a=6m，代回去得6b^2=36m^2
b^2=6m^2，
故6|b^2→2|b^2→2|b
2|a且2|b，與(a,b)=1矛盾
故√6為無理數


假設√3＋√2為有理數，
令√3＋√2=p/q，p,q為整數，(p,q)=1，q≠0
(√3＋√2)^2=(p/q)^2
5+2√6=p^2/q^2
√6=(1/2)(p^2/q^2-5)，為有理數，矛盾。
故√3＋√2為無理數。

Answer 4

證明有點怪怪的

Answer 5

有理數一定可以寫成分數

所以我們，假設√３＋√２為有理數
√３＋√２＝ｑ／ｐ　（ｐ,ｑ）＝１　ｐ≠０　∵分母等於０，此數就無意義
√３ｐ＋√２ｐ＝ｑ
３ｐ²＋２ｐ²＝ｑ²
５ｐ²＝ｑ²－－－－－（１）
∴５｜ｑ²
　５｜ｑ

設ｑ＝５ｋ＜－－代入（１）
５ｐ²＝２５ｋ²
ｐ²＝５ｋ²
∴５｜ｐ²
　５｜ｐ

∵５｜ｐ,且５｜ｑ，∴（ｐ,ｑ）＝５，與先前的（ｐ,ｑ）＝１互相矛盾
∴√３＋√２為無理數

Answer 6

用整係數來証阿..蠻有新意ㄉ