三角形比例線段問題

Question

請高手幫幫忙！
三角形ABC中，D為 AB中點，E為 CD中點
連接AE交BC 線段於F
請問（1）AE :EF (2) CF : BF
請附詳解...........沒限定何種三角形 ....（注意E絕對不是重心）

Answer 1

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1106092315098.JPG
請見圖示我們知道若兩個三角形底相等且高相等，則面積相等；若兩個三角形高相等，則其底的比等於其面積比。令△ABC面積=4△ADC與△BDC底相等且高相等，故△ADC=△BDC△ADC=(1/2)△ABC=2△ADE與△ACE底相等且高相等，故△ADE=△ACE△ADE=(1/2)△ADC=(1/2)*2=1同理可知△ADE=△ACE=△DBE=△CBE=1令△CFE面積=x，則△BFE面積=1-x，線段AE:線段EF=△ABE:△BFE=△ACE:△CFE(因為高相等)即2:(1-x)=1:x1-x=2x，3x=1，x=1/3，1-x=2/3故AE:EF=1:x=1:(1/3)=3:1CF:BF=x:(1-x)=(1/3):(2/3)=1:2(因為△CFE和△BFE高相等)

Answer 2

根據我解高中數學的經驗
這題應該有 3 種方法
1.你可以用向量
向量AE = 1/2 向量AD + 1/2 向量AC
向量AE = 1/4 向量AB + 1/2 向量AC
設 向量AF = t 向量 AE
向量AF = 1/4t 向量AB + 1/2t 向量AC
因為 B . F . C 三點共線
所以 1/4t + 1/2t = 1
t = 4/3
所以 向量AF = 4/3 向量 AE → AE :EF = 3: 1
t = 4/3 再帶入 向量AF = 1/4t 向量AB + 1/2t 向量AC
向量AF = 1/3 向量AB + 2/3 向量AC
由分點公式可以知 CF : BF = 1:2

2.你可以用孟氏定理(我覺得這比較難懂可是是最快的)
先算CF : BF
依孟氏定理
( 線段CF / 線段FB ) * ( 線段BA / 線段DA ) * ( 線段DE / 線段EC ) = 1
( 線段CF / 線段FB ) * ( 2 / 1) * ( 1 / 1) = 1
所以 CF : BF = 1:2
再用一次孟氏求AE :EF
( 線段AD / 線段DB ) * ( 線段BC / 線段CF ) * ( 線段FE / 線段EA ) = 1
( 1 / 1) * ( 3 / 1 ) * ( 線段FE / 線段EA ) = 1
所以 AE :EF = 3: 1

3.你可以用斜坐標
把D點當原點
直線CD當X軸
直線AB當Y軸
所以 D ( 0 , 0 ) , A ( 0 , 1 ) , B ( 0 , -1 ) , E ( 1 , 0 ) , C ( 2 , 0 )
利用 直線AE 和 直線BC 求出F點
直線AE : X + Y = 1
直線BC : X - 2Y=2
求出 F ( 4 / 3 , -1 / 3 )
所以 AE :EF = 根號 ( 2 ) : 根號 ( 2 / 9 ) = 3 : 1
CF : BF = 根號 ( 5 / 9 ) : 根號 ( 20 / 9 ) = 1:2

基本上我比較推薦使用向量
因為向量比較正統

而孟氏是比較不推薦啦
他是比較快沒錯
可是卻很難找出來
不會孟氏是不影響高中數學解題的

而斜坐標比較像是旁門左道
是比較推薦對於向量觀念不清的人
它比較不用什麼觀念
只是靠運算能力