二十點)請證明H≦G≦Xbox (調和≦幾何≦算術平均數

Question

請證明H≦G≦Xbox (調和≦幾何≦算術平均數)。
請會的人教我證明。感激不盡。

給地球人先生
不好意思有二個地方我看不懂，能不能請您說的更細一點。可能是我沒學過或學過又忘了的地方。
(1) arcf((Σf(x[k])/n)其中arcf(x)表f(x)之反函數。
若f”(x)/f’(x)≧g”(x)/g’(x)
則arcf((Σf(x[k])/n)大於等於arcg((Σg(x[k])/n)
為什麼? 盧必達定理?

Answer 1

簡單平民化的排序不等式學過嘛?

如果有,便可以很簡單輕鬆的証明

你想要的話寄信給我我在po上來..

2006-09-23 19:14:52 補充：
收到了嗎?我打好亂不好意思

要是不證A≦Q的話連chebeshev's inequality都免了吧

2006-09-24 13:25:03 補充：
還是用回答的好了，比較好看。

但是你要是不選我當最佳解答的話請先通知我來移除掉，不然恕我以後不答你的問題。

2006-09-24 13:39:49 補充：
大家好！我是好久沒回答問題的喵貓！既然您大發慈悲的發問了，我就誠心誠意的回答您！前言：排序不等式有兩正數組ａ１≧ａ２≧ａ３。。。。。。ａｎ　　　　　ｂ１≧ｂ２≧ｂ３。。。。。。ｂｎ則順序和≧亂序和≧逆序和。順序和：第一組最大的和第二組最大的乘起來，次大乘次大....後相加即ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋ａ３ｂ３。。。。＋ａｎｂｎ逆序和：故意把最大的和另一組最小的配對，以此類推即ａ１ｂｎ＋ａ２ｂｎ－１＋ａ３ｂｎ－２。。。。亂序和：不知道怎麼配的，總之就是ａ組某數隨便配到ｂ組某數1.先証Ｇ≦Ａ　（算幾不等式）對於一數組ａ１，ａ２，ａ３。。。ａｎ　欲証Ｇ≦Ａ　：構造兩數組ｘ１＝ａ１／Ｇ　，　ｘ２＝ａ１ａ２／Ｇ２　　　　　ｘ３＝ａ１ａ２ａ３／Ｇ３　　，以此類推　　。。。。。　ｙ１＝１／ｘ１　，　ｙ２＝　１／ｘ２　，以此類推。。。於是ｘ１ｙ１＋ｘ２ｙ２。。。＋ｘｎｙｎ（逆序和）≦ｘ１ｙｎ＋ｘ２ｙ１＋ｘ３ｙ２。。。。（亂序和）　＊註１＜＝＞　１＋１＋１＋１。。。。。≦　　　　　ａ１／Ｇ＋ａ２／Ｇ＋ａ３／Ｇ。。。＜＝＞　ｎ≦（ａ１＋ａ２＋ａ３。。。）／Ｇ＜＝＞　Ｇ≦（ａ１＋ａ２＋ａ３。。。）／ｎ　　　　這就得到了要証的Ｇ≦Ａ。２：再証Ｈ≦Ｇ。對於一數組１／ａ１，１／ａ２，１／ａ３。。。。應用Ｇ≦Ａ，得到－－－－－－（１／ａ１ａ２ａ３ａ４。。。ａｎ）１／ｎ　≦（１／ａ１＋１／ａ２＋１／ａ３。。。）／ｎ兩邊取倒數，不等號轉個邊！（ａ１ａ２ａ３。。。。ａｎ）１／ｎ　≧ｎ／（１／ａ１＋１／ａ２＋１／ａ３。。。）此即Ｈ≦Ｇ。大致這樣，喵。

2006-09-24 13:42:01 補充：
註１：因為每個數都和自己倒數配對，所以是逆序和

2006-09-25 18:59:18 補充：
？

2006-09-25 18:59:50 補充：
還可以簡易的証Ａ≦Ｑ，但是要用排序不等式的延伸chebechev不等式

2006-09-26 23:13:06 補充：
1.我事先根本沒有設定順序.

2.但是不管順序如何,自己配自己總是順序和,自己配自己的倒數總是逆序和
(why? think! )

3.亂序和那項自己乘開看看就好了

: D

2006-09-28 12:03:36 補充：
1.我之前已經講過了

2.我是男的

3.所以應該不能跟我約會

4.你到現在還沒找到對象??

Answer 2

好個喵貓！厲害！厲害！

Answer 3

不好意思我現在才看到，能寄給我嗎?

2006-09-28 01:16:13 補充：
恩 我還沒看完，不過我先選您好了。不然我怕你以後不回答我的問題了:D

2006-09-28 01:17:05 補充：
喵貓 你是女生嗎? 和我約會吧:D

Answer 4

一個簡短的證明如下 :

設 a_1 , a_2 , ... , a_n 是 n 個大於 0 的正數 , 令

算數平均數 A = (a_1 + a_2 + ... + a_n)/n
幾何平均數 G = [(a_1)(a_2) ... (a_n)]^(1/n)
調和平均數 H = n/[(1/a_1) + (1/a_2) + ... + (1/a_n)]

利用微分判別可知 x - 1 ≧ ln(x) for x ＞ 0 (*)
令 b_k = (a_k)A 代入 (*) 這個不等式 , 把 k 從 1 到 n 都加起來得

(a_1 + ... + a_n)/A - n ≧ ln[(G/A)^n]

上式等價於 0 ≧ ln(G/A) (化簡一下就 OK 了).
因為 ln(x) 是遞增函數故 1 ≧ G/A , 即 A ≧ G. (**)

在 (**) 這個不等式中 a_k 都用 1/(a_k) 替換即可得到 G ≧ H
故 A ≧ G ≧ H 得證.

2006-09-22 12:22:04 補充：
b_k = (a_k)/A 才對 打太快 =.=

Answer 5

將n個數x[1],x[2],…,x[n]的某平均數寫成arcf((Σf(x[k])/n)其中arcf(x)表f(x)之反函數。若f”(x)/f’(x)≧g”(x)/g’(x)則arcf((Σf(x[k])/n)大於等於arcg((Σg(x[k])/n)調和平均數所用的函數h(x)=1/x幾何平均數所用的函數g(x)=ln(x)算術平均數所用的函數a(x)=xh”(x)/h’(x)=-2/xg”(x)/g’(x)=-1/xa”(x)/a’(x)=0其中x大於0h”(x)/h’(x)=≦g”(x)/g’(x) ≦a”(x)/a’(x)所以調和≦幾何≦算術平均數

2006-09-22 11:04:37 補充：
這個不等式的證明太複雜了，請直接看我的參考文件。

2006-09-22 23:10:50 補充：
寄給我吧。

2006-09-23 10:21:18 補充：
這個不等式超好用的，而且不限於這三種平均數，只要能寫成函數的形式就可以用，以方均根為例，所用的函數r(x)=x^2r”(x)/r’(x)=1/x所以方均根≧算術平均數

2006-09-26 21:30:29 補充：
證明都很精采。

Answer 6

http://www3.stat.sinica.edu.tw/olympiad/%E5%A5%A7%E6%9E%97%E5%8C%B9%E4%BA%9E2006%E7%B6%B2%E9%A0%81/2006APMO&IMO%E5%8F%83%E8%80%83%E8%B3%87%E6%96%99/APMO%E7%A0%94%E7%BF%92%E7%87%9F/%E4%BA%9E%E5%A4%AA%E7%87%9F%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F%E8%AC%9B%E7%BE%A92006-02-13(%E9%BB%83%E6%96%87%E9%81%94).doc

這篇word他有詳細說明何時會H=G=A，何時會H