雙重根號化為單一根號的證明

Question

a,b皆為正有理數，試證明雙重根號√(a±√b)可化為單一根號的「充份非必要」條件是a2-b為有理數的平方。單一根號在此是指√c±√d的形式，其中c,d為正有理數。

Answer 1

Assume that a^2 - b = p^2 for some positive rational p , c = (a+p)/2 , and d = (a-p)/2,
it is clear that c and d are positive rational.

b = (a+p)(a-p) = 4cd , a = c + d

√(a ± √b)

= √[c + d ± 2√(cd)]

= √(√c ± √d)^2

= √c ± √d

Q.E.D.

2006-09-21 20:25:49 補充：
忘了還要證非必要條件給他一個反例就行了取 a=2 , b=1√(a - √b) = 1 = √4 - √1但 a^2 - b = 3 不可能是一個有理數的平方

Answer 2

故意的，規定b非有理數的平方，好像限制有點太多，我比較注重實用。
上次有人問√(2+√3)，一堆人說不能化簡，哇咧！根號內不能是分數嗎？
所以才出這題證明題。
√(2+√3)=√(1/2)+√(3/2)

Answer 3

這個方法我已經答過好幾次了。
這個題目出得不好，應該給予更嚴格的限制，使其成為充要條件。